Esboce a região de integração e calcule as integrais.
integral1^2 integral1^2(xy+xy) d y d x

Passo 1

Neste exercício vamos calcular a integral dupla integral1^2integral1^2l(tfracxy+tfracxyr),dy,dx. O conteúdo é cálculo de integrais duplas e usaremos o teorema de Fubini para transformar em integrais iteradas, além de explorar funções fatoráveis em x e y.

Passo 2

A região de integração é dada por 1<= x<= 2 e 1<= y<= 2. Trata-se de um retângulo no plano xy com vértices em (1,1), (2,1), (2,2) e (1,2).

Passo 3

Como xy+xy=2xy, na integral interna em y consideramos x como constante:
integral1^2 2xy,dy = 2x integral1^2 1y,dy = 2x l[ln yr]1^2 = 2xln 2

Passo 4

Agora integramos em x:
integral1^2 2xln 2,dx = 2ln 2 integral1^2 x,dx = 2ln 2 l[tfracx^22r]1^2 = 2ln 2 cdot tfrac32 = 3ln 2

Resposta

3ln 2

Exercícios relacionados