Esboce a região de integração e calcule as integrais iteradas
integral0^2 integralx^2^2 x(x^3+4 x) d y d x

Passo 1

No enunciado, temos a integral iterada integral0^2 integralx^2^2x (x^3 + 4x) , dy , dx. O conteúdo envolve cálculo de integrais iteradas e esboço da região de integração, que é limitada pelas curvas y = x^2 e y = 2x.

Passo 2

Para esboçar a região, primeiro identificamos as curvas y = x^2 (uma parábola) e y = 2x (uma reta). Elas se intersectam onde x^2 = 2x, ou seja x = 0 e x = 2. No plano (x,y), a região é o conjunto de pontos com 0 <= x <= 2 e x^2 <= y <= 2x.

Passo 3

Como o integrando x^3 + 4x não depende de y, a integral interna em y fica:
integralx^2^2x (x^3 + 4x) , dy = (x^3 + 4x) l(2x - x^2r)

Passo 4

Assim a integral dada passa a ser uma integral em x:
integral0^2 (x^3 + 4x)(2x - x^2) , dxMultiplicando os polinômios, obtemos
(x^3 + 4x)(2x - x^2) = -x^5 + 2x^4 - 4x^3 + 8x^2

Passo 5

Agora integramos termo a termo e avaliamos de 0 a 2. A primitiva é
-x^66 + 2x^55 - x^4 + 8x^33,então ao aplicar os limites temos a expressão
-2^66 + 2cdot 2^55 - 2^4 + 8cdot 2^33 = -646 + 645 - 16 + 643

Passo 6

Para finalizar, somamos essas frações usando denominadores comuns e simplificamos para obter o valor da integral.

Resposta

11215

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