Mostre que se f é uma função ímpar em (-1,1), então a sua série de Fourier-Legendre é dada por
l f(x)=sumn=0^infty c2 n+1 P2 n+1(x) onde c2 n+1=(4 n+3) integral0^1 f(x) P2 n+1(x) d x

Passo 1

Entendendo o Problema
Vamos lá! A questão pede para mostrarmos que, se $ f $ é uma função ímpar definida no intervalo f , então sua série de Fourier-Legendre só envolve polinômios de Legendre de ordem ímpar. Além disso, precisamos expressar os coeficientes dessa série de uma forma específica.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos:
  • Função Ímpar: Uma função $ f $ é ímpar se $ f(-x) = -f(x) $.
  • Polinômios de Legendre: São uma sequência de polinômios ortogonais no intervalo (-1, 1).
  • Série de Fourier-Legendre: É uma representação de uma função como soma de polinômios de Legendre.

Passo 2

Propriedades das Funções Ímpares e dos Polinômios de Legendre
Primeiro, vamos lembrar que polinômios de Legendre têm propriedades de paridade:
  • $ P_n(x) $ é par se $ n $ é par.
  • $ P_n(x) $ é ímpar se $ n $ é ímpar.
Assim, se $ f $ é uma função ímpar, ao expandi-la em termos de polinômios de Legendre, espera-se que apenas os polinômios de Legendre ímpares apareçam na série. Isso porque a soma de uma função ímpar com funções pares não resulta em uma função ímpar.

Passo 3

Montando a Série de Fourier-Legendre para uma Função Ímpar
A série de Fourier-Legendre de uma função $ f $ no intervalo f é dada por:
[-1, 1]
Onde $ c_n $ são os coeficientes da série. No caso de $ f $ ser ímpar, conforme vimos, apenas os polinômios de Legendre de ordem ímpar contribuirão. Portanto, podemos reescrever a série considerando apenas $ n = 2k + 1 $ (onde $ k $ é um inteiro não negativo):
f(x) = sumn=0^infty cn Pn(x)

Passo 4

Calculando os Coeficientes $ c_{2k+1} $
Os coeficientes na série de Fourier-Legendre são calculados usando a fórmula de ortogonalidade dos polinômios de Legendre:
c2k+1
Como $ f $ é ímpar e $ P_n(x) $ é ímpar para $ n $ ímpar, o produto $ f(x) P_{2k+1}(x) $ será par (porque ímpar vezes ímpar é par). Portanto, podemos simplificar a integral de cn = 2n + 12 integral-1^1 f(x) Pn(x) , dx a f para Pn(x) vezes a integral de n a f(x) P2k+1(x) :
-1
Simplificando:
1

Resposta

Assim, mostramos que se $ f $ é uma função ímpar em f , sua série de Fourier-Legendre é dada por
(-1, 1)
onde os coeficientes $ c_{2n+1} $ são calculados por
f(x) = sumn=0^infty c2n+1 P2n+1(x)

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