Mostre que se
é uma função ímpar em
, então a sua série de Fourier-Legendre é dada por
Passo 1
Entendendo o Problema
Vamos lá! A questão pede para mostrarmos que, se $ f $ é uma função ímpar definida no intervalo
, então sua série de Fourier-Legendre só envolve polinômios de Legendre de ordem ímpar. Além disso, precisamos expressar os coeficientes dessa série de uma forma específica.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos:
- Função Ímpar: Uma função $ f $ é ímpar se $ f(-x) = -f(x) $.
- Polinômios de Legendre: São uma sequência de polinômios ortogonais no intervalo
. - Série de Fourier-Legendre: É uma representação de uma função como soma de polinômios de Legendre.
Passo 2
Propriedades das Funções Ímpares e dos Polinômios de Legendre
Primeiro, vamos lembrar que polinômios de Legendre têm propriedades de paridade:
- $ P_n(x) $ é par se $ n $ é par.
- $ P_n(x) $ é ímpar se $ n $ é ímpar.
Assim, se $ f $ é uma função ímpar, ao expandi-la em termos de polinômios de Legendre, espera-se que apenas os polinômios de Legendre ímpares apareçam na série. Isso porque a soma de uma função ímpar com funções pares não resulta em uma função ímpar.
Passo 3
Montando a Série de Fourier-Legendre para uma Função Ímpar
A série de Fourier-Legendre de uma função $ f $ no intervalo
é dada por:
Onde $ c_n $ são os coeficientes da série. No caso de $ f $ ser ímpar, conforme vimos, apenas os polinômios de Legendre de ordem ímpar contribuirão. Portanto, podemos reescrever a série considerando apenas $ n = 2k + 1 $ (onde $ k $ é um inteiro não negativo):
Passo 4
Calculando os Coeficientes $ c_{2k+1} $
Os coeficientes na série de Fourier-Legendre são calculados usando a fórmula de ortogonalidade dos polinômios de Legendre:
Como $ f $ é ímpar e $ P_n(x) $ é ímpar para $ n $ ímpar, o produto $ f(x) P_{2k+1}(x) $ será par (porque ímpar vezes ímpar é par). Portanto, podemos simplificar a integral de
a
para
vezes a integral de
a
:
Simplificando:
Resposta
Assim, mostramos que se $ f $ é uma função ímpar em
, sua série de Fourier-Legendre é dada por
onde os coeficientes $ c_{2n+1} $ são calculados por