Considere a superfície S definida pela equação
tan (z)=x-2 y
em que a variável z é dada implicitamente em função de x e de y.
Calcule a equação do plano tangente à S no ponto (2, 12, pi4).

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente à superfície definida implicitamente por tan(z)=x-2y no ponto (2,tfrac12,tfracpi4). O conteúdo é superfícies de nível e plano tangente, e vamos precisar usar a definição de gradiente de uma função implícita e a fórmula do plano tangente a uma superfície F(x,y,z)=0.

Passo 2

Definimos a função F(x,y,z) = tan(z) - x + 2y, de modo que a superfície é o nível F(x,y,z)=0. Para obter o plano tangente, precisamos do vetor normal dado pelo gradiente de F.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de F:
Fx = -1,
Fy = 2,
Fz = sec^2(z)

Passo 4

Avaliamos essas derivadas no ponto (2,tfrac12,tfracpi4). Sabendo que sec^2(tfracpi4)=2, obtemos:
Fx(2,tfrac12,tfracpi4) = -1,
Fy(2,tfrac12,tfracpi4) = 2,
Fz(2,tfrac12,tfracpi4) = 2
Logo, o vetor normal é (-1,2,2).

Passo 5

A equação do plano tangente a F(x,y,z)=0 no ponto (x0,y0,z0) é
Fx(x0,y0,z0), (x - x0) + Fy(x0,y0,z0), (y - y0) + Fz(x0,y0,z0), (z - z0) = 0
Substituindo (x0,y0,z0)=(2,tfrac12,tfracpi4) e o vetor normal, temos:
-1,(x-2) + 2,(y-tfrac12) + 2,(z-tfracpi4) = 0

Passo 6

Bastou expandir e simplificar:
-x + 2 + 2y -1 + 2z - tfracpi2 = 0
-x + 2y + 2z +1 - tfracpi2 = 0
Multiplicando por -1, chegamos à forma final.
Simplificando, obtemos a equação do plano tangente:

Resposta

x - 2y - 2z = 1 - pi2

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