Considere a superfície
definida pela equação
em que a variável
é dada implicitamente em função de
e de
.
Calcule a equação do plano tangente à
no ponto
.
Calcule a equação do plano tangente à
Passo 1
O enunciado pede o plano tangente à superfície definida implicitamente por
no ponto
. O conteúdo é superfícies de nível e plano tangente, e vamos precisar usar a definição de gradiente de uma função implícita e a fórmula do plano tangente a uma superfície
.
Passo 2
Definimos a função
, de modo que a superfície é o nível
. Para obter o plano tangente, precisamos do vetor normal dado pelo gradiente de
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 4
Avaliamos essas derivadas no ponto
. Sabendo que
, obtemos:
Logo, o vetor normal é
.
Passo 5
A equação do plano tangente a
no ponto
é
Substituindo
e o vetor normal, temos:
Passo 6
Bastou expandir e simplificar:
Multiplicando por
, chegamos à forma final.
Simplificando, obtemos a equação do plano tangente:
Simplificando, obtemos a equação do plano tangente: