Esboce a região de integração e calcule as integrais triplas. \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{0}^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{3}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)}} d z d y d x
O que ele pede é calcular esse valor numérico. As informações relevantes que temos são:
Os limites de z vão de 0 até \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Os limites de y vão de 0 até \sqrt{1-x^{2}}.
Os limites de x vão de 0 até 1.
O integrando é \dfrac{3}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Nada mais é pedido além de calcular essa integral.
Passo 2
Vamos começar integrando em z porque os limites para z dependem de x,y mas o integrando não depende de z (ele depende só de x e y). Quando uma função f(x,y) é independente de z tem-se
Interpretação geométrica: a condição y\le\sqrt{1-x^{2}} é equivalente a x^{2}+y^{2}\le 1 com y\ge 0. Como também temos x\ge 0, a região D é o quarto de disco de raio 1 no primeiro quadrante. Em forma de conjunto:
Para calcular a integral dupla do 3 sobre D podemos usar duas ideias: (a) reconhecer que é simplesmente 3 vezes a área de D; ou (b) passar para coordenadas polares e integrar explicitamente. Vou mostrar o método polar porque ensina um pouco mais e é prático aqui.
Lembre-se das coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo. O elemento de área em coordenadas polares é dA = r\,dr\,d\theta. Isso vem do jacobiano da transformação polar — geometria: pequenos retângulos em (r,θ) têm área aprox. r\,dr\,d\theta.
Passo 6
Descrever os limites em polares para a região D: como D é o quarto de disco no primeiro quadrante, temos
(Ou, de forma mais direta: área de D é \dfrac{\pi}{4}, e 3 vezes isso é 3\cdot \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}.)
Passo 8
Resumo rápido do raciocínio útil para prova: primeiro integrar a variável cujo integrando não depende (aqui z), isso simplifica muito; depois reconhecer a projeção no plano xy (aqui um quarto de disco) e usar coordenadas polares para calcular a área se for conveniente.