Esboce a região de integração e calcule as integrais triplas.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{0}^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{3}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)}} d z d y d x

Passo 1

O enunciado dá a integral tripla
\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{0}^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{3}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)}} \,dz\,dy\,dx.
O que ele pede é calcular esse valor numérico. As informações relevantes que temos são:
  • Os limites de z vão de 0 até \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Os limites de y vão de 0 até \sqrt{1-x^{2}}.
  • Os limites de x vão de 0 até 1.
  • O integrando é \dfrac{3}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
    Nada mais é pedido além de calcular essa integral.

Passo 2

Vamos começar integrando em z porque os limites para z dependem de x,y mas o integrando não depende de z (ele depende só de x e y). Quando uma função f(x,y) é independente de z tem-se
\int_{0}^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{3}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dz = \frac{3}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\int_{0}^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} 1\,dz.
Aqui usei a propriedade de fatorar constantes (ou fatores que não dependem da variável de integração) para fora da integral.

Passo 3

Calcule a integral em z:
\int_{0}^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} 1\,dz = \left.z\right|_{0}^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} = \sqrt{x^{2}+y^{2}}-0 = \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Substituindo de volta:
\int_{0}^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{3}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dz = \frac{3}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\cdot \sqrt{x^{2}+y^{2}} = 3.
Ou seja, a integral interna em z simplifica exatamente para a constante 3.

Passo 4

Com isso, a integral tripla reduz-se à integral dupla da constante 3 sobre a região D no plano xy dada por
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\\\ 0\le y\le \sqrt{1-x^{2}}\}.
Interpretação geométrica: a condição y\le\sqrt{1-x^{2}} é equivalente a x^{2}+y^{2}\le 1 com y\ge 0. Como também temos x\ge 0, a região D é o quarto de disco de raio 1 no primeiro quadrante. Em forma de conjunto:
D=\{(x,y)\mid x\ge0,\\ y\ge0,\\ x^{2}+y^{2}\le 1\}.

Passo 5

Para calcular a integral dupla do 3 sobre D podemos usar duas ideias: (a) reconhecer que é simplesmente 3 vezes a área de D; ou (b) passar para coordenadas polares e integrar explicitamente. Vou mostrar o método polar porque ensina um pouco mais e é prático aqui.
Lembre-se das coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo. O elemento de área em coordenadas polares é dA = r\,dr\,d\theta. Isso vem do jacobiano da transformação polar — geometria: pequenos retângulos em (r,θ) têm área aprox. r\,dr\,d\theta.

Passo 6

Descrever os limites em polares para a região D: como D é o quarto de disco no primeiro quadrante, temos
0\le \theta \le \frac{\pi}{2},\qquad 0\le r\le 1.
A integral dupla torna-se
\iint_{D} 3\,dA = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{1} 3\; r\,dr\,d\theta.
Note que substituí dA por r\,dr\,d\theta e o integrando 3 permanece constante.

Passo 7

Calcule a integral em r primeiro:
\int_{r=0}^{1} 3r\,dr = 3\left(\frac{r^{2}}{2}\right)\Big|_{0}^{1} = 3\cdot\frac{1}{2} = \frac{3}{2}.
Agora integramos em \theta:
\int_{\theta=0}^{\pi/2} \frac{3}{2}\,d\theta = \frac{3}{2}\left(\theta\right)\Big|_{0}^{\pi/2} = \frac{3}{2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}.
(Ou, de forma mais direta: área de D é \dfrac{\pi}{4}, e 3 vezes isso é 3\cdot \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}.)

Passo 8

Resumo rápido do raciocínio útil para prova: primeiro integrar a variável cujo integrando não depende (aqui z), isso simplifica muito; depois reconhecer a projeção no plano xy (aqui um quarto de disco) e usar coordenadas polares para calcular a área se for conveniente.

Resposta

\displaystyle \frac{3\pi}{4}

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