Esboce a região de integração e calcule as integrais triplas.
\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} \int_{0}^{6} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar a região de integração e calcular a integral tripla
\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} \int_{0}^{6} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \, dz \, dy \, dx.
Informações dadas:
  • Os limites de x são 0 \le x \le 2.
  • Para cada x, os limites de y são 0 \le y \le \sqrt{4-x^{2}}.
  • Para cada (x,y) a coordenada z varia de 0 a 6.
  • A função a integrar é \sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 2

Interpretação geométrica (esboço da região):
  • A condição 0 \le y \le \sqrt{4-x^{2}} implica y\ge0 e x^{2}+y^{2}\le4. Portanto, no plano xy a região projetada é o quarto de disco de raio 2 no primeiro quadrante (ou seja, 0\le x\le2, 0\le y\le2, com x^{2}+y^{2}\le2^{2}).
  • A coordenada z varia de 0 a 6. Logo a região tridimensional é um cilindro reto de altura 6 cujo base é o quarto de disco de raio 2 no primeiro quadrante.
    Observação: peguei essas informações diretamente dos limites de integração do enunciado.

Passo 3

Simplificação inicial da integral usando que o integrando não depende de z:
  • Como \sqrt{x^{2}+y^{2}} não contém z, a integração em z é imediata:
\int_{0}^{6} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \, dz = \sqrt{x^{2}+y^{2}} \cdot \int_{0}^{6} dz = \sqrt{x^{2}+y^{2}} \cdot 6.
  • Portanto a integral tripla reduz-se a
6 \int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \, dy \, dx.

Passo 4

Reconhecimento da região e escolha de coordenadas mais convenientes:
  • A região no plano xy é um quarto de disco centrado na origem. Para esse tipo de região, coordenadas polares são naturalíssimas.
  • Vamos trocar para coordenadas polares (r,\theta) onde
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
  • No primeiro quadrante com x^{2}+y^{2}\le 4 temos os limites
0 \le r \le 2,\qquad 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}.

Passo 5

Lembrete didático sobre mudança para coordenadas polares:
  • Em coordenadas polares a área elementar dx\,dy se transforma em r\,dr\,d\theta. Esse fator r vem do Jacobiano da transformação; pense que um quadradinho \Delta x \Delta y vira aproximadamente um setor circular com área r\,\Delta r\,\Delta\theta.
  • A integranda \sqrt{x^{2}+y^{2}} em polares fica simplesmente r, pois \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{r^{2}}=r (aqui r\ge0 por definição).

Passo 6

Montagem da integral em coordenadas polares:
  • Substituindo \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r e dx\,dy = r\,dr\,d\theta, a integral dupla torna-se
6 \iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \, dA = 6 \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{2} r \cdot (r\,dr\,d\theta) = 6 \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{2} r^{2} \, dr \, d\theta.

Passo 7

Cálculo da integral em r:
  • Calcule a integral interna em r:
\int_{0}^{2} r^{2} \, dr = \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \frac{2^{3}}{3} = \frac{8}{3}.

Passo 8

Cálculo da integral em \theta e multiplicação final:
  • Agora integramos em \theta:
\int_{0}^{\pi/2} d\theta = \frac{\pi}{2}.
  • Juntando tudo:
6 \cdot \frac{8}{3} \cdot \frac{\pi}{2} = 6 \cdot \frac{8\pi}{6} = 8\pi.
Fazendo as contas passo a passo: 6\cdot\frac{8}{3}=16 e 16\cdot\frac{\pi}{2}=8\pi.

Resposta

8\pi

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