Esboce a região de integração e calcule as integrais triplas.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: esboçar a região de integração e calcular a integral tripla
Informações dadas:
- Os limites de
são . - Para cada
, os limites de são . - Para cada
a coordenada varia de a . - A função a integrar é
.
Passo 2
Interpretação geométrica (esboço da região):
- A condição
implica e . Portanto, no plano a região projetada é o quarto de disco de raio no primeiro quadrante (ou seja, , , com ). - A coordenada
varia de a . Logo a região tridimensional é um cilindro reto de altura cujo base é o quarto de disco de raio no primeiro quadrante.
Observação: peguei essas informações diretamente dos limites de integração do enunciado.
Passo 3
Simplificação inicial da integral usando que o integrando não depende de
:
- Como
não contém , a integração em é imediata:
- Portanto a integral tripla reduz-se a
Passo 4
Reconhecimento da região e escolha de coordenadas mais convenientes:
- A região no plano
é um quarto de disco centrado na origem. Para esse tipo de região, coordenadas polares são naturalíssimas. - Vamos trocar para coordenadas polares
onde
- No primeiro quadrante com
temos os limites
Passo 5
Lembrete didático sobre mudança para coordenadas polares:
- Em coordenadas polares a área elementar
se transforma em . Esse fator vem do Jacobiano da transformação; pense que um quadradinho vira aproximadamente um setor circular com área . - A integranda
em polares fica simplesmente , pois (aqui por definição).
Passo 6
Montagem da integral em coordenadas polares:
- Substituindo
e , a integral dupla torna-se
Passo 7
Cálculo da integral em
:
- Calcule a integral interna em
:
Passo 8
Cálculo da integral em
e multiplicação final:
- Agora integramos em
:
- Juntando tudo:
Fazendo as contas passo a passo:
e
.