Esboce a região de integração e calcule a integral:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçar a região de integração e calcular a integral tripla:
Esse exercício envolve cálculo múltiplo, especificamente integrais triplas. Para resolver, vamos precisar entender como trabalhar com integrais iteradas e visualizar a região onde vamos integrar. Vamos dividir essa integral em partes para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral externa é em relação a
de 1 a 2. Para cada valor de
,
varia de
a 2. E para cada par
,
varia de 0 a
.
Então, a ordem de integração é
,
,
. Vamos começar integrando em relação a
.
Passo 3
Vamos focar na parte interna da integral:
Note que
é constante em relação a
. Podemos fazer uma substituição para simplificar. Vamos usar:
A integral fica:
Sabemos que:
Aqui,
. Então:
Sabemos que:
Portanto, a integral em
resulta em
.
Passo 4
Agora, nossa integral simplificada fica:
Como
é uma constante, podemos tirar para fora da integral em
:
Vamos agora integrar em
.
Passo 5
A integral em relação a
é:
Então, nossa integral agora fica:
Passo 6
Vamos integrar em relação a
:
Calculando os valores:
Para
:
Para
:
Então:
Resposta
Multiplicando pelo fator constante:
Portanto, o valor da integral é
.