Esboce a região de integração e calcule a integral:
integral1^2 integralz^2 integral0^raiz3 y yx^2+y^2 d x d y d z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçar a região de integração e calcular a integral tripla:
integral1^2 integralz^2 integral0^raiz3 y yx^2+y^2 , dx , dy , dz
Esse exercício envolve cálculo múltiplo, especificamente integrais triplas. Para resolver, vamos precisar entender como trabalhar com integrais iteradas e visualizar a região onde vamos integrar. Vamos dividir essa integral em partes para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral externa é em relação a z de 1 a 2. Para cada valor de z , y varia de z a 2. E para cada par (z, y) , x varia de 0 a raiz3 y .
Então, a ordem de integração é dz , dy , dx . Vamos começar integrando em relação a x .

Passo 3

Vamos focar na parte interna da integral:
integral0^raiz3 y yx^2+y^2 , dx
Note que y é constante em relação a x . Podemos fazer uma substituição para simplificar. Vamos usar:
u = x
du = dx
A integral fica:
y integral0^raiz3 y 1u^2 + y^2 , du
Sabemos que:
integral 1u^2 + a^2 , du = 1a tan^-1(ua) + C
Aqui, a = y . Então:
y cdot [ 1y tan^-1(uy) ]0^raiz3 y = tan^-1(raiz3) - tan^-1(0)
Sabemos que:
tan^-1(raiz3) = pi3 e tan^-1(0) = 0
Portanto, a integral em x resulta em pi3 .

Passo 4

Agora, nossa integral simplificada fica:
integral1^2 integralz^2 pi3 , dy , dz
Como pi3 é uma constante, podemos tirar para fora da integral em y :
pi3 integral1^2 integralz^2 , dy , dz
Vamos agora integrar em y .

Passo 5

A integral em relação a y é:
integralz^2 , dy = [y]z^2 = 2 - z
Então, nossa integral agora fica:
pi3 integral1^2 (2 - z) , dz

Passo 6

Vamos integrar em relação a z :
integral1^2 (2 - z) , dz = [ 2z - z^22 ]1^2
Calculando os valores:
Para z = 2 :
2(2) - 2^22 = 4 - 2 = 2
Para z = 1 :
2(1) - 1^22 = 2 - 0,5 = 1,5
Então:
2 - 1,5 = 0,5

Resposta

Multiplicando pelo fator constante:
pi3 times 0,5 = pi6
Portanto, o valor da integral é pi6 .

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