Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de f(x, y)=e^x sin y no ponto P(1, pi / 4, f(1, pi / 4)).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente ao gráfico da função
f(x,y)=e^,xsin y
no ponto
Pl(1,tfracpi4,f(1,tfracpi4)r)
Para isso precisamos usar o conceito de derivadas parciais para obter o gradiente nabla f em P e, em seguida, montar a equação
z = f(P) + fx(P),(x - x0) + fy(P),(y - y0)

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f. Como
f(x,y)=e^,xsin y,
valem as regras da função composta e do produto:
fx(x,y) = e^,xsin y,partialpartial xl(xsin yr) = e^,xsin y,sin y,
fy(x,y) = e^,xsin y,partialpartial yl(xsin yr) = e^,xsin y,xcos y

Passo 3

Agora avaliamos em P, onde x0=1 e y0=tfracpi4. Primeiro
sinl(tfracpi4r)=cosl(tfracpi4r)=tfracraiz22,
f(1,tfracpi4) = e^,1cdotraiz22 = e^raiz22
Então
fx(1,tfracpi4) = e^raiz22cdotraiz22, fy(1,tfracpi4) = e^raiz22cdot1cdotraiz22 = e^raiz22cdotraiz22

Passo 4

A equação do plano tangente em P é
z = f(1,tfracpi4) + fx(1,tfracpi4),(x-1) + fy(1,tfracpi4),l(y-tfracpi4r)
Substituindo os valores encontrados:
z = e^raiz22 + e^raiz22raiz22,(x-1) + e^raiz22raiz22,l(y-tfracpi4r)

Resposta

z = e^raiz22 + raiz22,e^raiz22,(x-1) + raiz22,e^raiz22l(y-tfracpi4r)

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