Esboce a região de integração e calcule a integral dupla para:
com
a região triangular com vértices
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos esboçar a região de integração, que é um triângulo com vértices em
,
e
. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais duplas, especificamente sobre regiões triangulares. Para resolver, vamos precisar definir os limites de integração corretamente e calcular a integral da função
sobre essa região.
Passo 2
Vamos desenhar a região triangular no plano
. Os vértices do triângulo são
,
e
. Esse triângulo está no primeiro quadrante, com a base sobre o eixo
de
a
e a altura sobre o eixo
de
a
.
Passo 3
Agora, precisamos definir os limites de integração para a integral dupla. Podemos escolher integrar primeiro em
e depois em
, ou vice-versa. Vamos optar por integrar primeiro em
e depois em
.
Passo 4
Para cada valor de
entre
e
,
varia de
até
. Isso porque a linha que liga
a
tem a equação
. Portanto, os limites de integração são:
Passo 5
Com os limites definidos, a integral dupla fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Aqui, podemos usar a técnica de integração por partes. Vamos escolher:
Passo 7
Aplicando a integração por partes:
Passo 8
Agora, avaliamos essa expressão de
a
:
Sabemos que
e
, então:
Passo 9
Substituindo na integral externa:
Resposta
O valor da integral dupla é
.