Calcule as seguintes integrais duplas utilizando integrais repetidas.
\iint_{R} \sin (x) \cos (y) d A, \quad R=[0, \pi] \times\left[0, \frac{\pi}{2}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} \sin(x)\cos(y)\,dA,
onde a região R é o retângulo
R = [0,\pi]\times\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right].
Informações dadas:
  • A integranda é \sin(x)\cos(y).
  • Os limites para x são 0 a \pi.
  • Os limites para y são 0 a \tfrac{\pi}{2}.
    O que se pede: calcular o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Por que usar integrais repetidas aqui? A função \sin(x)\cos(y) é produto de uma função que depende só de x e outra que depende só de y. Além disso R é um retângulo fechado e a função é contínua em R. Pelo teorema de Fubini, pode-se calcular a integral dupla como uma integral iterada. Em particular, para funções separáveis em um retângulo vale a propriedade
\iint_{[a,b]\times[c,d]} f(x)g(y)\,dA = \left(\int_{a}^{b} f(x)\,dx\right)\!\left(\int_{c}^{d} g(y)\,dy\right).
Aqui f(x)=\sin(x) e g(y)=\cos(y).

Passo 3

Aplicando essa propriedade ao nosso caso obtemos a redução para produto de integrais simples:
\iint_{R}\sin(x)\cos(y)\,dA = \left(\int_{0}^{\pi}\sin(x)\,dx\right) \left(\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos(y)\,dy\right).
(Alternativa equivalente seria calcular a integral iterada explicitamente, por exemplo \int_{0}^{\pi}\left(\int_{0}^{\pi/2}\sin(x)\cos(y)\,dy\right)dx, lembrando que ao integrar em y trata-se \sin(x) como constante.)

Passo 4

Calcular a integral em y:
a primitiva de \cos(y) em relação a y é \sin(y), pois \dfrac{d}{dy}\sin(y)=\cos(y). Logo
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos(y)\,dy = \left[\sin(y)\right]_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} = \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)-\sin(0).
Sabendo que \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1 e \sin(0)=0, vem
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos(y)\,dy = 1.

Passo 5

Calcular a integral em x:
a primitiva de \sin(x) em relação a x é -\cos(x), pois \dfrac{d}{dx}(-\cos(x))=\sin(x). Assim
\int_{0}^{\pi}\sin(x)\,dx = \left[-\cos(x)\right]_{0}^{\pi} = \big(-\cos(\pi)\big)-\big(-\cos(0)\big).
Com \cos(\pi)=-1 e \cos(0)=1 obtemos
\int_{0}^{\pi}\sin(x)\,dx = (-(-1)) - (-1) = 1 - (-1) = 2.

Passo 6

Multiplicando os resultados obtidos em x e em y,
\iint_{R}\sin(x)\cos(y)\,dA = \left(\int_{0}^{\pi}\sin(x)\,dx\right) \left(\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos(y)\,dy\right) = 2\cdot 1 = 2.

Resposta

2

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