Calcule as seguintes integrais duplas utilizando integrais repetidas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde a região
é o retângulo
Informações dadas:
- A integranda é
. - Os limites para
são a . - Os limites para
são a .
O que se pede: calcular o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Por que usar integrais repetidas aqui? A função
é produto de uma função que depende só de
e outra que depende só de
. Além disso
é um retângulo fechado e a função é contínua em
. Pelo teorema de Fubini, pode-se calcular a integral dupla como uma integral iterada. Em particular, para funções separáveis em um retângulo vale a propriedade
Aqui
e
.
Passo 3
Aplicando essa propriedade ao nosso caso obtemos a redução para produto de integrais simples:
(Alternativa equivalente seria calcular a integral iterada explicitamente, por exemplo
, lembrando que ao integrar em
trata-se
como constante.)
Passo 4
Calcular a integral em
:
a primitiva de em relação a
é
, pois
. Logo
a primitiva de
Sabendo que
e
, vem
Passo 5
Calcular a integral em
:
a primitiva de em relação a
é
, pois
. Assim
a primitiva de
Com
e
obtemos
Passo 6
Multiplicando os resultados obtidos em
e em
,