Esboce a regiāo de integração e calcule a integral.
\int_{0}^{1} \int_{y}^{1} x y d x d y

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar a região de integração e calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{y}^{1} x y \, dx \, dy.
Informações dadas (peguei estes limites do enunciado):
  • O integrando é x y.
  • A integração externa é em y com 0 \le y \le 1.
  • A integração interna é em x com y \le x \le 1.
Portanto, preciso:
  1. descrever/esboçar a região do plano (x,y) determinada por esses limites;
  2. calcular o valor numérico da integral.

Passo 2

Descrever a região de integração a partir dos limites (peguei os limites do enunciado):
  • A desigualdade 0 \le y \le 1 diz que y varia entre a linha y=0 e y=1.
  • Para cada y fixo, x varia entre x=y (linha diagonal) e x=1 (reta vertical).
    Logo a região é o conjunto de pontos (x,y) tais que
0 \le y \le 1,\qquad y \le x \le 1.
Os pontos extremos (vértices) dessa região são:
  • (0,0) (quando y=0 e x=y=0),
  • (1,0) (quando y=0 e x=1),
  • (1,1) (quando y=1 e x=1).

Passo 3

Como esboçar mentalmente a região (procedimento prático que dá para desenhar na prova):
  • Desenhe o quadrado unitário 0\le x\le1,\;0\le y\le1.
  • Marque a reta diagonal x=y que vai de (0,0) a (1,1).
  • A região com x entre y e 1 é a parte do quadrado à direita da diagonal x=y, limitada pelo eixo y=0 abaixo e pela reta x=1 à direita: é um triângulo com vértices (0,0),(1,0),(1,1).
Dica rápida: sempre identifique as curvas/retas que aparecem nos limites ( x=y, x=1, y=0, y=1) e localize suas interseções para obter o polígono da região.

Passo 4

Opcional (útil para checagem): reescrever a integral trocando a ordem de integração. A região também pode ser descrita como
0 \le x \le 1,\qquad 0 \le y \le x,
ou seja, para cada x fixo em [0,1], y varia de 0 até x. Assim a integral com ordem trocada fica
\int_{0}^{1}\int_{0}^{x} x y \, dy \, dx.
Trocar a ordem é uma boa técnica para verificar cálculos.

Passo 5

Agora calculo a integral na ordem dada (integrando primeiro em x). Começo calculando a integral interna:
\int_{y}^{1} x y \, dx.
Aqui y é tratado como constante ao integrar em x. Posso fatorar y:
\int_{y}^{1} x y \, dx = y \int_{y}^{1} x \, dx.
A primitiva de x em relação a x é \dfrac{x^{2}}{2}. Portanto
y \int_{y}^{1} x \, dx = y\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{x=y}^{x=1} = y\left(\frac{1^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}\right) = y\left(\frac{1}{2}-\frac{y^{2}}{2}\right).
Simplificando:
\int_{y}^{1} x y \, dx = \frac{y}{2}-\frac{y^{3}}{2}.

Passo 6

Agora integro o resultado em y de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\left(\frac{y}{2}-\frac{y^{3}}{2}\right) dy = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\left(y - y^{3}\right) dy.
Calculo as primitivas: a primitiva de y é \dfrac{y^{2}}{2} e a de y^{3} é \dfrac{y^{4}}{4}. Assim
\frac{1}{2}\left[\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1^{2}}{2}-\frac{1^{4}}{4}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}.

Passo 7

Simplificando o produto final:
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}.
Como verificação rápida, usando a ordem trocada (veja o Passo 4) dá o mesmo:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{x} x y \, dy \, dx = \int_{0}^{1} x\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{x} dx = \int_{0}^{1} x\cdot\frac{x^{2}}{2}\, dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} x^{3} dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}.

Resposta

\frac{1}{8}

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