Esboce a regiāo de integração e calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: esboçar a região de integração e calcular a integral dupla
Informações dadas (peguei estes limites do enunciado):
- O integrando é
. - A integração externa é em
com . - A integração interna é em
com .
Portanto, preciso:
- descrever/esboçar a região do plano
determinada por esses limites; - calcular o valor numérico da integral.
Passo 2
Descrever a região de integração a partir dos limites (peguei os limites do enunciado):
- A desigualdade
diz que varia entre a linha e . - Para cada
fixo, varia entre (linha diagonal) e (reta vertical).
Logo a região é o conjunto de pontostais que
Os pontos extremos (vértices) dessa região são:
-
(quando e ), -
(quando e ), -
(quando e ).
Passo 3
Como esboçar mentalmente a região (procedimento prático que dá para desenhar na prova):
- Desenhe o quadrado unitário
. - Marque a reta diagonal
que vai de a . - A região com
entre e é a parte do quadrado à direita da diagonal , limitada pelo eixo abaixo e pela reta à direita: é um triângulo com vértices .
Dica rápida: sempre identifique as curvas/retas que aparecem nos limites (
,
,
,
) e localize suas interseções para obter o polígono da região.
Passo 4
Opcional (útil para checagem): reescrever a integral trocando a ordem de integração. A região também pode ser descrita como
ou seja, para cada
fixo em
,
varia de
até
. Assim a integral com ordem trocada fica
Trocar a ordem é uma boa técnica para verificar cálculos.
Passo 5
Agora calculo a integral na ordem dada (integrando primeiro em
). Começo calculando a integral interna:
Aqui
é tratado como constante ao integrar em
. Posso fatorar
:
A primitiva de
em relação a
é
. Portanto
Simplificando:
Passo 6
Agora integro o resultado em
de
a
:
Calculo as primitivas: a primitiva de
é
e a de
é
. Assim
Passo 7
Simplificando o produto final:
Como verificação rápida, usando a ordem trocada (veja o Passo 4) dá o mesmo: