Esboce a regiāo de integração e calcule a integral.
\int_{-1}^{1} \int_{0}^{1-x^{2}}\(x^{2}+y\right) d y d x)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Esboçar a região de integração.
  • Calcular a integral dupla
\int_{-1}^{1}\int_{0}^{1-x^{2}}\left(x^{2}+y\right)\,dy\,dx.
Informações fornecidas:
  • A variável x varia de -1 até 1.
  • Para cada x fixo, a variável y varia de 0 até 1-x^{2}.
  • O integrando é x^{2}+y.

Passo 2

Entender a região: as curvas que limitam a região são y=0 (eixo x) e y=1-x^{2} (uma parábola com vértice em (0,1) que intercepta o eixo x em x=\pm1).
Como esboçar (descrição passo a passo para desenhar):
  • Desenhar o eixo x e eixo y.
  • Marcar o ponto (0,1) e traçar a parábola y=1-x^{2} para x\in[-1,1]; ela passa por (-1,0), (0,1), (1,0).
  • A região é a parte entre a parábola e o eixo y=0, ou seja, a “casquinha” abaixo da parábola e acima do eixo y=0, para x entre -1 e 1.

Passo 3

Estratégia de cálculo: a integral está escrita como integral iterada com y primeiro e x depois, então vamos integrar primeiramente em y. Lembrando que ao integrar em y tratamos x como constante.
A integral interna é
\int_{0}^{1-x^{2}}\left(x^{2}+y\right)\,dy.

Passo 4

Calcular a primitiva em y. Para uma função do tipo x^{2}+y com x constante:
  • A primitiva de x^{2} em relação a y é x^{2}y (porque d/dy(x^{2}y)=x^{2}).
  • A primitiva de y em relação a y é \dfrac{y^{2}}{2}.
Portanto uma primitiva conjunta é
x^{2}y+\frac{y^{2}}{2}.
Avaliar entre y=0 e y=1-x^{2}:
\left[x^{2}y+\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{1-x^{2}} = x^{2}(1-x^{2})+\frac{(1-x^{2})^{2}}{2}.

Passo 5

Simplificar a expressão em x. Desenvolvendo os termos:
x^{2}(1-x^{2}) = x^{2}-x^{4},
\frac{(1-x^{2})^{2}}{2} = \frac{1-2x^{2}+x^{4}}{2} = \frac{1}{2}-x^{2}+\frac{x^{4}}{2}.
Somando:
x^{2}-x^{4}+\frac{1}{2}-x^{2}+\frac{x^{4}}{2} = \frac{1}{2}-\frac{x^{4}}{2} = \frac{1-x^{4}}{2}.
Assim a integral dupla reduz-se a uma integral em x:
\int_{-1}^{1}\frac{1-x^{4}}{2}\,dx.

Passo 6

Calcular a integral em x. Podemos tirar o fator \dfrac{1}{2} para fora:
\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\left(1-x^{4}\right)\,dx = \frac{1}{2}\left(\int_{-1}^{1}1\,dx - \int_{-1}^{1}x^{4}\,dx\right).
Usar simetria: tanto 1 quanto x^{4} são funções pares, então
\int_{-1}^{1}1\,dx = 2,
\int_{-1}^{1}x^{4}\,dx = 2\int_{0}^{1}x^{4}\,dx = 2\left[\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{1} = 2\cdot\frac{1}{5}=\frac{2}{5}.

Passo 7

Continuando os cálculos:
\frac{1}{2}\left(2-\frac{2}{5}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{10-2}{5} = \frac{1}{2}\cdot\frac{8}{5} = \frac{4}{5}.

Resposta

\dfrac{4}{5}

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