Esboce a regiāo de integração e calcule a integral.
)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Esboçar a região de integração.
- Calcular a integral dupla
Informações fornecidas:
- A variável
varia de até . - Para cada
fixo, a variável varia de até . - O integrando é
.
Passo 2
Entender a região: as curvas que limitam a região são
(eixo
) e
(uma parábola com vértice em
que intercepta o eixo
em
).
Como esboçar (descrição passo a passo para desenhar):
- Desenhar o eixo
e eixo . - Marcar o ponto
e traçar a parábola para ; ela passa por , , . - A região é a parte entre a parábola e o eixo
, ou seja, a “casquinha” abaixo da parábola e acima do eixo , para entre e .
Passo 3
Estratégia de cálculo: a integral está escrita como integral iterada com
primeiro e
depois, então vamos integrar primeiramente em
. Lembrando que ao integrar em
tratamos
como constante.
A integral interna é
Passo 4
Calcular a primitiva em
. Para uma função do tipo
com
constante:
- A primitiva de
em relação a é (porque ). - A primitiva de
em relação a é .
Portanto uma primitiva conjunta é
Avaliar entre
e
:
Passo 5
Simplificar a expressão em
. Desenvolvendo os termos:
Somando:
Assim a integral dupla reduz-se a uma integral em
:
Passo 6
Calcular a integral em
. Podemos tirar o fator
para fora:
Usar simetria: tanto
quanto
são funções pares, então
Passo 7
Continuando os cálculos: