Esboce a região de integração e calcule a integral.
integral0^3 integral-2^4-2 u 4-2 uv^2 d v d u

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração no plano (u,v) e calcular a integral dupla de
integral0^3 integral-2^4-2u 4-2uv^2 ,dv,du
O conteúdo envolvido é integração iterada e visualização de regiões em coordenadas cartesianas. Vamos usar o fato de que o limite superior em v é a reta v=4−2u e o limite inferior é v=−2.

Passo 2

Primeiro identificamos a região de integração. Em u, temos 0≤u≤3. Para cada u fixo, v varia de −2 até v=4−2u. As interseções dessa reta com v=−2 ocorrem em u=3. Em u=0 a reta dá v=4. Logo a região é o triângulo cujos vértices são (u,v)=(0,−2), (0,4) e (3,−2).

Passo 3

Agora vamos à integral interna em v. Como (4−2u) é constante em relação a v, podemos escrevê-la como
(4-2u)integral-2^4-2u 1v^2 ,dv
Sabemos que integral v^-2 dv=-tfrac1v

Passo 4

Aplicando o antiderivado, obtemos
integral-2^4-2u 1v^2 ,dv = l[-1vr]v=-2^v=4-2u = -14-2u - l(-1-2r) = -14-2u - 12
Multiplicando pelo fator externo 4-2u), fica
(4-2u)l(-14-2u - 12r) = -1 - 4-2u2 = -1 - (2 - u) = u - 3

Passo 5

A integral dupla então reduz-se a
integral0^3 (u - 3) ,du
Fazendo a integral em u,
integral0^3 (u-3) ,du = l[u^22 - 3ur]0^3 = l(92 - 9r) - 0 = -92

Passo 6

Portanto, o valor da integral é -tfrac92.

Resposta

-9/2

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