Esboce a região de integração e calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região de integração no plano (u,v) e calcular a integral dupla de
O conteúdo envolvido é integração iterada e visualização de regiões em coordenadas cartesianas. Vamos usar o fato de que o limite superior em v é a reta v=4−2u e o limite inferior é v=−2.
Passo 2
Primeiro identificamos a região de integração. Em u, temos 0≤u≤3. Para cada u fixo, v varia de −2 até v=4−2u. As interseções dessa reta com v=−2 ocorrem em u=3. Em u=0 a reta dá v=4. Logo a região é o triângulo cujos vértices são (u,v)=(0,−2), (0,4) e (3,−2).
Passo 3
Agora vamos à integral interna em v. Como (4−2u) é constante em relação a v, podemos escrevê-la como
Sabemos que
Passo 4
Aplicando o antiderivado, obtemos
Multiplicando pelo fator externo
, fica
Passo 5
A integral dupla então reduz-se a
Fazendo a integral em u,
Passo 6
Portanto, o valor da integral é
.
Resposta
-9/2