Scyam f © varphi funções reais diferenciáveis. Mostre que a função z=f(x+varphi(y)) satisfaz a equação:
partial zpartial x cdot partial^2 zpartial x partial y=partial zpartial y cdot partial^2 zpartial x^2

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções reais diferenciáveis, $ f $ e $ \varphi $. A função que estamos analisando é $ z = f(x + \varphi(y)) $. Precisamos mostrar que essa função satisfaz a seguinte equação:
f
Para resolver isso, vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $.
Como $ z = f(u) $, onde $ u = x + \varphi(y) $, aplicamos a regra da cadeia:
z
Sabemos que $ \frac{\partial u}{\partial x} = 1 $, então:
x

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial y} $.
Novamente, usando a regra da cadeia:
z
Aqui, $ \frac{\partial u}{\partial y} = \varphi’(y) $, então:
y

Passo 4

Vamos agora encontrar a segunda derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} $.
Derivamos $ \frac{\partial z}{\partial x} = f’(x + \varphi(y)) $ em relação a $ x $:
z

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada mista $ \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} $.
Derivamos $ \frac{\partial z}{\partial x} = f’(x + \varphi(y)) $ em relação a $ y $:
partial^2 zpartial x partial y

Passo 6

Com todas as derivadas calculadas, vamos substituir na equação que queremos provar:
partial zpartial x cdot partial^2 zpartial x partial y = partial zpartial y cdot partial^2 zpartial x^2
Substituindo os valores encontrados:
f'(x + varphi(y)) cdot ( f''(x + varphi(y)) cdot varphi'(y) ) = ( f'(x + varphi(y)) cdot varphi'(y) ) cdot f''(x + varphi(y))

Resposta

Após simplificar, ambos os lados da equação são iguais a $ f’(x + \varphi(y)) \cdot f’’(x + \varphi(y)) \cdot \varphi’(y) $. Portanto, a função $ z = f(x + \varphi(y)) $ satisfaz a equação dada.

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