Scyam
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funções reais diferenciáveis. Mostre que a função
satisfaz a equação:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções reais diferenciáveis, $ f $ e $ \varphi $. A função que estamos analisando é $ z = f(x + \varphi(y)) $. Precisamos mostrar que essa função satisfaz a seguinte equação:
Para resolver isso, vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $.
Como $ z = f(u) $, onde $ u = x + \varphi(y) $, aplicamos a regra da cadeia:
Sabemos que $ \frac{\partial u}{\partial x} = 1 $, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial y} $.
Novamente, usando a regra da cadeia:
Aqui, $ \frac{\partial u}{\partial y} = \varphi’(y) $, então:
Passo 4
Vamos agora encontrar a segunda derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} $.
Derivamos $ \frac{\partial z}{\partial x} = f’(x + \varphi(y)) $ em relação a $ x $:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada mista $ \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} $.
Derivamos $ \frac{\partial z}{\partial x} = f’(x + \varphi(y)) $ em relação a $ y $:
Passo 6
Com todas as derivadas calculadas, vamos substituir na equação que queremos provar:
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
Após simplificar, ambos os lados da equação são iguais a $ f’(x + \varphi(y)) \cdot f’’(x + \varphi(y)) \cdot \varphi’(y) $. Portanto, a função $ z = f(x + \varphi(y)) $ satisfaz a equação dada.