Esboce a região de integração e calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
integral-3^3 integral0^raiz9-x^2 sen(x^2+y^2) d y d x

Passo 1

A gente tem a integral dupla
integral-3^3integral0^raiz9-x^2sinl(x^2+y^2r),dy,dx.
Isso cai no assunto de mudança para coordenadas polares porque o integrando depende de x^2+y^2 e a região é um semicírculo de raio 3.
Para resolver, vamos precisar das fórmulas x=rcostheta, y=rsintheta e do jacobiano dA=r,dr,dtheta.

Passo 2

A região de integração em coordenadas cartesianas é dada por
-3<= x<= 3 e 0<= y<=raiz9-x^2.
Isso descreve o semicírculo centrado na origem acima do eixo x, com raio 3.
Se você esboçar, verá um semicírculo de raio 3 de (-3,0) até (3,0).

Passo 3

Passando para polares, usamos x=rcostheta, y=rsintheta e dA=r,dr,dtheta.
Em polares a região fica
0 <= r <= 3, 0 <= theta <= pi

Passo 4

A integral vira
integral0^piintegral0^3sin(r^2),r,dr,dtheta
Para a integral interna em r fazemos a substituição u=r^2, logo du=2r,dr ou r,dr=tfrac12,du.
Então
integral0^3rsin(r^2),dr=12integral0^9sin(u),du=12[-cos(u)]0^9=12(1-cos9)
Por fim, integramos em theta:
integral0^pi12(1-cos9),dtheta=12(1-cos9),pi

Resposta

pi2l(1-cos9r)

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