Calcule a integral
integral0^1 integral0^1 e^max x^2, y^2 d y d x
onde max x^2, y^2 denota o maior entre os números x^2 e y^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral0^1!integral0^1 e^maxx^2,y^2,dy,dx. O conteúdo principal aqui é integral dupla e particionamento de domínio, e vamos usar a ideia de dividir o quadrado unitário em regiões onde x^2>= y^2 e onde y^2>= x^2.

Passo 2

Como x,y estão em [0,1], comparar x^2 e y^2 é o mesmo que comparar x e y. Logo dividimos o domínio em duas partes: a região 0<= y<= x<=1, onde maxx^2,y^2=x^2, e a região 0<= x<= y<=1, onde maxx^2,y^2=y^2.
Escrevemos então
integral0^1!integral0^1e^maxx^2,y^2,dy,dx =integral0^1l(integral0^xe^x^2,dy+integralx^1e^y^2,dyr)dx

Passo 3

Dentro desse mesmo passo, notamos que
integral0^xe^x^2,dy = x,e^x^2
E que
integral0^1l(integralx^1e^y^2,dyr)dx =integral0^1l(integral0^ydxr)e^y^2dy =integral0^1y,e^y^2,dy

Passo 4

Agora somamos tudo:
I=integral0^1x,e^x^2,dx+integral0^1y,e^y^2,dy =2integral0^1t,e^t^2,dt,
onde trocamos a variável y por t e usamos que as duas integrais são iguais.

Passo 5

Para calcular integral0^1t,e^t^2,dt, fazemos a substituição u=t^2, de modo que du=2t,dt e t,dt=du/2. Isso dá
integral0^1t,e^t^2,dt =12integral0^1e^u,du =12l(e^1-e^0r) =e-12
Portanto
I=2cdote-12=e-1

Resposta

e-1

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