Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e caso seja, determine a solução geral e a solução particular que pasa pelo ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial na forma
pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar a solução geral e a particular que passa por
. O conteúdo é teoria de equações diferenciais exatas, em que procuramos uma função potencial
tal que
para
.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Para achar a função potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Integramos em
:
O constante
pode ser absorvida no
final. Assim
Passo 5
A solução geral implícita é
Passo 6
Para a solução particular que passa por
, substituímos
,
:
logo
. A solução particular fica
Resposta
Solução geral:
Solução particular passando por
: