Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e caso seja, determine a solução geral e a solução particular que pasa pelo ponto (1,2).
(2 x+3)+(2 y-2) y^prime=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma
(2x+3)+(2y-2),y'=0,
pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar a solução geral e a particular que passa por (1,2). O conteúdo é teoria de equações diferenciais exatas, em que procuramos uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x=M(x,y), partial phipartial y=N(x,y),
para M(x,y)+N(x,y)y'=0.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=2x+3, N(x,y)=2y-2
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=0, partial Npartial x=0
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para achar a função potencial phi(x,y), integramos M em relação a x:
phi(x,y)=integral(2x+3),dx = x^2+3x + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Derivamos phi em relação a y e igualamos a N:
partial phipartial y = h'(y) stackrel!=2y-2
Integramos em y:
h(y)=integral(2y-2),dy = y^2-2y + C0
O constante C0 pode ser absorvida no C final. Assim
phi(x,y)=x^2+3x+y^2-2y

Passo 5

A solução geral implícita é
phi(x,y)=C Longrightarrow x^2+3x+y^2-2y=C

Passo 6

Para a solução particular que passa por (1,2), substituímos x=1, y=2:
1^2+3cdot1+2^2-2cdot2 =1+3+4-4=4,
logo C=4. A solução particular fica
x^2+3x+y^2-2y=4

Resposta

Solução geral:
x^2+3x+y^2-2y=C
Solução particular passando por (1,2):
x^2+3x+y^2-2y=4

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