Esboce a região de integração e calcule a integral trocando a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado dá a integral dupla\n\n
\n\npedindo para esboçar a região de integração no plano xy e depois trocar a ordem de integração para calculá-la. Vamos usar conceitos de regiões em coordenadas cartesianas e mudança de ordem de integração.
Passo 2
A região D é definida por 0 ≤ x ≤ 1 e 4x ≤ y ≤ 4. Se esboçarmos no plano xy, temos: as retas x=0 (eixo y), x=1 (vertical), y=4 (horizontal) e y=4x (reta passando por (0,0) e (1,4)). D é o trapézio triangular sob y=4 e acima de y=4x.
Passo 3
Para inverter a ordem, observamos que y varia de 0 até 4 (porque em D o menor y ocorre em (0,0) e o maior em y=4) e, para cada y fixo, x vai de 0 até y/4 (da inequação y≥4x ⇒ x≤y/4). Assim reescrevemos:
$$\n\int_{0}{1}\int_{4x}{4}e{-y{2}},dy,dx = \int_{y=0}{4}\int_{x=0}{y/4}e{-y{2}},dx,dy.
$$
Passo 4
Agora calculamos: fazemos primeiro a integral em x, que simplesmente multiplica por (y/4):
Usamos a substituição u=y^{2}, du=2y dy ⇒ y dy=du/2:
$$\n\int_{0}{4}\frac{y}{4}e{-y^{2}},dy = \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}\int_{u=0}{16}e{-u},du = \frac{1}{8}\bigl[-e{-u}\bigr]_{0}{16} = \frac{1}{8}(1 - e^{-16}).
$$