Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
integral1^2 integral0^ln x f(x, y) d y d x

Passo 1

Neste exercício, vamos inverter a ordem de integração da integral integral1^2integral0^ln x f(x,y),dy,dx. O conteúdo é mudança de ordem de integração em integrais duplas e precisamos esboçar a região R no plano xy dada por 1<= x<= 2 e 0<= y<= ln x.

Passo 2

Esboçamos a região R: a curva y=ln x para x de 1 a 2 sobe de y=0 até y=ln2. O eixo y=0 é o limite inferior. A região fica abaixo de y=ln x e acima de y=0, entre as verticais x=1 e x=2.

Passo 3

Para inverter a ordem, projetamos R no eixo y. A curva y=ln x vai de 0 até ln2, logo y varia em [0,ln2]. Para cada y nesse intervalo, a desigualdade y<=ln x x>= e^y, e ainda x<=2. Portanto x fica em [e^y,2].

Passo 4

Com esses limites, escrevemos a integral de ordem invertida: integramos primeiro em x de e^y a 2 e depois em y de 0 a ln2.

Resposta

integral0^ln2 integrale^y^2 f(x,y),dx,dy

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