Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
integral0^1 integral2^4-2 x d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo que envolve integrais duplas. A questão pede para a gente desenhar a região de integração e reescrever a integral com a ordem de integração invertida. Isso significa que, em vez de integrar primeiro em relação a e depois em , vamos fazer o contrário. Para isso, vamos precisar entender bem os limites de integração e como eles se relacionam no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integral original:
integral0^1 integral2^4-2x dy , dx
Aqui, varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de 2 a . Vamos desenhar essa região no gráfico.

Passo 3

Vamos traçar os limites de e :
  • varia de 0 a 1.
  • varia de 2 a .
Para , vai de 2 a 4.
Para , vai de 2 a 2 (já que ).
Isso forma uma linha reta de a no gráfico.

Passo 4

Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar 2x = 4 - y implies x = 4 - y2 em função de :
Da equação , isolamos :

Passo 5

Vamos determinar os novos limites para e :
  • varia de 2 a 4.
  • Para cada , varia de 0 a .

Passo 6

Com isso, a integral com a ordem de integração invertida fica:
integral2^4 integral0^4 - y2 dx , dy

Resposta

A integral dupla com a ordem de integração invertida é:
integral2^4 integral0^4 - y2 dx , dy

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