Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo que envolve integrais duplas. A questão pede para a gente desenhar a região de integração e reescrever a integral com a ordem de integração invertida. Isso significa que, em vez de integrar primeiro em relação a
e depois em
, vamos fazer o contrário. Para isso, vamos precisar entender bem os limites de integração e como eles se relacionam no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a integral original:
Aqui,
varia de 0 a 1, e para cada valor de
,
varia de 2 a
. Vamos desenhar essa região no gráfico.
Passo 3
Vamos traçar os limites de
e
:
-
varia de 0 a 1. -
varia de 2 a .
Para
,
vai de 2 a 4.
Para ,
vai de 2 a 2 (já que
).
Para
Isso forma uma linha reta de
a
no gráfico.
Passo 4
Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em função de
:
Da equação , isolamos
:
Da equação
Passo 5
Vamos determinar os novos limites para
e
:
-
varia de 2 a 4. - Para cada
, varia de 0 a .
Passo 6
Com isso, a integral com a ordem de integração invertida fica:
Resposta
A integral dupla com a ordem de integração invertida é: