Seja C a interseção do cilindro x^2+y^2=1 com o plano z=1-y.
O valor da integral integralC(3-z-y) raiz1+x^2 d s é:
Escolha uma opção:
  • 12 pi
  • 4 pi
  • 10 pi
  • 6 pi
  • 8 pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha sobre a curva C, que é a interseção do cilindro x^2+y^2=1 com o plano z=1-y. O conteúdo principal é integral de linha de função escalar, e vamos precisar parametrizar C, calcular d s e avaliar o integrando.

Passo 2

Parametrizamos C usando theta em [0,2pi]:
x(theta)=costheta, y(theta)=sintheta, z(theta)=1-sintheta

Passo 3

Calculamos o vetor derivada
r'(theta)=(-sintheta, costheta, -costheta)
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|r'(theta)|=raiz(-sintheta)^2+(costheta)^2+(-costheta)^2=raiz1+cos^2theta

Passo 4

Expressamos o integrando (3-z-y)raiz1+x^2 em função de theta. Primeiro:
3-z-y=3-(1-sintheta)-sintheta=2
E
raiz1+x^2=raiz1+cos^2theta
Então o produto é
(3-z-y)raiz1+x^2=2raiz1+cos^2theta

Passo 5

Montamos a integral:
integralC(3-z-y)raiz1+x^2,ds =integral0^2pi2raiz1+cos^2theta,l|r'(theta)r|,dtheta =2integral0^2pi(1+cos^2theta),dtheta
Sabendo que integral0^2pi1,dtheta=2pi e integral0^2picos^2theta,dtheta=pi, temos:
2l(2pi+pir)=6pi

Resposta

6\pi

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