Esboce a região de integração e calcule as integrais.
Passo 1
Vamos entender direitinho o que o enunciado pede e quais as informações dadas. O enunciado pede duas coisas: (1) esboçar a região de integração no plano
e (2) calcular a integral
As informações relevantes do enunciado são:
- O limite externo é
com . - O limite interno é
com . - A função integranda é
.
Passo 2
Esboço e descrição da região de integração (sem desenho físico, descrevendo as curvas e interseções).
- A condição
pode ser reescrita como e . - A desigualdade
é equivalente a (exponenciando ambos os lados). - O intervalo em
é .
Portanto a regiãoé
Descrição geométrica útil para esboçar: no plano
,
- a reta vertical
é a fronteira esquerda; - a curva
(uma exponencial crescente passando por ) é a fronteira interior dada por ; - as horizontais
e são as fronteiras inferior e superior.
Interseções importantes: quando, temos (ponto ). A curva atinge quando . Assim a região é a faixa vertical entre e , limitada à esquerda por e à direita pela curva (ou ).
Passo 3
Primeira etapa do cálculo da integral: integrar em
(a ordem dada) — motivo: a integral interna é direta e simples porque a função separa bem.
A integral interna é
A integral interna é
Observe que
; aqui
é constante em relação a
. Então
Agora calculamos
. A antiderivada de
é
. Logo
porque
e
. Portanto a integral interna fica
Passo 4
Segunda etapa: integrar em
a expressão obtida. Temos então
Para calcular
usamos integração por partes (ou observamos que é conveniente separar em
). Vou fazer por partes de forma direta e didática:
- Tome
, então . - Tome
, então .
A fórmula da integração por partes é. Aplicando:
A integral restante é
. Logo
(Expliquei: combinei os termos
.)
Passo 5
Avaliação nos limites
a
. Usando a primitiva obtida:
Calcule cada parte:
-
. -
.
Portanto
Podemos simplificar observando
, então uma forma alternativa é
se preferir em termos de
.