Esboce a região de integração e calcule as integrais.
\int_{1}^{\ln 8} \int_{0}^{\ln y} e^{x+y} d x d y

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado pede e quais as informações dadas. O enunciado pede duas coisas: (1) esboçar a região de integração no plano xy e (2) calcular a integral
\int_{1}^{\ln 8} \int_{0}^{\ln y} e^{x+y}\,dx\,dy.
As informações relevantes do enunciado são:
  • O limite externo é y com 1 \le y \le \ln 8.
  • O limite interno é x com 0 \le x \le \ln y.
  • A função integranda é e^{x+y}.

Passo 2

Esboço e descrição da região de integração (sem desenho físico, descrevendo as curvas e interseções).
  • A condição 0 \le x \le \ln y pode ser reescrita como x \ge 0 e x \le \ln y.
  • A desigualdade x \le \ln y é equivalente a y \ge e^{x} (exponenciando ambos os lados).
  • O intervalo em y é 1 \le y \le \ln 8.
    Portanto a região R é
R=\{(x,y)\mid 1 \le y \le \ln 8,\; 0 \le x \le \ln y\}.
Descrição geométrica útil para esboçar: no plano xy,
  • a reta vertical x=0 é a fronteira esquerda;
  • a curva y=e^{x} (uma exponencial crescente passando por (0,1)) é a fronteira interior dada por x=\ln y;
  • as horizontais y=1 e y=\ln 8 são as fronteiras inferior e superior.
    Interseções importantes: quando x=0, temos y=e^{0}=1 (ponto (0,1)). A curva y=e^{x} atinge y=\ln 8 quando x=\ln(\ln 8). Assim a região é a faixa vertical entre y=1 e y=\ln 8, limitada à esquerda por x=0 e à direita pela curva x=\ln y (ou y=e^{x}).

Passo 3

Primeira etapa do cálculo da integral: integrar em x (a ordem dada) — motivo: a integral interna é direta e simples porque a função separa bem.
A integral interna é
\int_{0}^{\ln y} e^{x+y}\,dx.
Observe que e^{x+y}=e^{x}e^{y}; aqui e^{y} é constante em relação a x. Então
\int_{0}^{\ln y} e^{x+y}\,dx = e^{y}\int_{0}^{\ln y} e^{x}\,dx.
Agora calculamos \int_{0}^{\ln y} e^{x}\,dx. A antiderivada de e^{x} é e^{x}. Logo
\int_{0}^{\ln y} e^{x}\,dx = \bigl[e^{x}\bigr]_{0}^{\ln y} = e^{\ln y}-e^{0}=y-1,
porque e^{\ln y}=y e e^{0}=1. Portanto a integral interna fica
\int_{0}^{\ln y} e^{x+y}\,dx = e^{y}(y-1).

Passo 4

Segunda etapa: integrar em y a expressão obtida. Temos então
\int_{1}^{\ln 8} e^{y}(y-1)\,dy.
Para calcular \int e^{y}(y-1)\,dy usamos integração por partes (ou observamos que é conveniente separar em \int y e^{y}dy - \int e^{y}dy). Vou fazer por partes de forma direta e didática:
  • Tome u=y-1, então du=dy.
  • Tome dv=e^{y}dy, então v=e^{y}.
    A fórmula da integração por partes é \int u\,dv = uv - \int v\,du. Aplicando:
\int e^{y}(y-1)\,dy = (y-1)e^{y} - \int e^{y}\,dy.
A integral restante é \int e^{y}\,dy = e^{y}. Logo
\int e^{y}(y-1)\,dy = (y-1)e^{y} - e^{y} = (y-2)e^{y} + C.
(Expliquei: combinei os termos (y-1)e^{y} - e^{y} = (y-2)e^{y}.)

Passo 5

Avaliação nos limites y=1 a y=\ln 8. Usando a primitiva obtida:
\left[(y-2)e^{y}\right]_{1}^{\ln 8} = (\ln 8 - 2)e^{\ln 8} - (1-2)e^{1}.
Calcule cada parte:
  • e^{\ln 8}=8.
  • (1-2)e^{1} = (-1)e = -e.
    Portanto
(\ln 8 - 2)\cdot 8 - (-e) = 8\ln 8 -16 + e.
Podemos simplificar observando \ln 8 = \ln(2^{3})=3\ln 2, então uma forma alternativa é
8\ln 8 -16 + e = 24\ln 2 -16 + e,
se preferir em termos de \ln 2.

Resposta

8\ln 8 -16 + e

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