Esboce a região de integração e escreva uma integral equivalente com a ordem de integração invertida. Em seguida, avalie ambas as integrais.
\int_{0}^{1} \int_{x{2}}{x} \sqrt{x} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração
D = \{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;x^2\le y\le x\}
e escrever uma integral equivalente trocando a ordem dy\,dx para dx\,dy, além de avaliar ambas. O conteúdo envolve mudança de ordem de integração em integrais duplas e cálculo de integrais simples resultantes.

Passo 2

Para esboçar D, note que as curvas de fronteira são
y = x^2 \quad\text{e}\quad y = x
que se intersectam em x^2 = x\implies x=0,1. Assim, D é a região no plano xy entre a parábola e a reta, de (0,0) até (1,1).

Passo 3

Na ordem original temos
\int_{0}^{1}\int_{x^2}^{x}\sqrt{x}\,dy\,dx.
Como \sqrt{x} independe de y, integra-se em y primeiro:
\int_{x^2}^{x}\sqrt{x}\,dy =\sqrt{x}\,\bigl[x - x^2\bigr] =\sqrt{x}\,(x - x^2) =x^{3/2}-x^{5/2}.
Logo a integral torna-se
\int_{0}^{1}\bigl(x^{3/2}-x^{5/2}\bigr)\,dx =\int_{0}^{1}x^{3/2}\,dx-\int_{0}^{1}x^{5/2}\,dx.
Calculando cada termo:
\int_{0}^{1}x^{3/2}\,dx =\frac{1}{\tfrac{5}{2}}=\frac{2}{5}, \quad \int_{0}^{1}x^{5/2}\,dx =\frac{1}{\tfrac{7}{2}}=\frac{2}{7}.
Portanto
\int_{0}^{1}\int_{x^2}^{x}\sqrt{x}\,dy\,dx =\frac{2}{5}-\frac{2}{7} =\frac{4}{35}.

Passo 4

Para inverter a ordem, fixamos y. Vemos em D que y varia de 0 a 1, e para cada y temos
x^2\le y\le x \quad\Longleftrightarrow\quad y\le x\le \sqrt{y}.
Assim a integral invertida é
\int_{y=0}^{1}\int_{x=y}^{\sqrt{y}}\sqrt{x}\,dx\,dy.

Passo 5

Agora integramos em x:
\int_{y}^{\sqrt{y}}\sqrt{x}\,dx =\left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_{x=y}^{x=\sqrt{y}} =\frac{2}{3}\bigl(y^{3/4}-y^{3/2}\bigr).
Em seguida
\int_{0}^{1}\frac{2}{3}\bigl(y^{3/4}-y^{3/2}\bigr)\,dy =\frac{2}{3}\Bigl[\frac{y^{7/4}}{\tfrac{7}{4}}-\frac{y^{5/2}}{\tfrac{5}{2}}\Bigr]_0^1 =\frac{2}{3}\Bigl(\frac{4}{7}-\frac{2}{5}\Bigr) =\frac{4}{35}.

Resposta

Tanto na ordem original como na invertida o valor da integral é \displaystyle \frac{4}{35}.

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