Esboce a região de integração e escreva uma integral equivalente com a ordem de integração invertida. Em seguida, avalie ambas as integrais.
\int_{0}^{1} \int_{x{2}}{x} \sqrt{x} d y d x
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região de integração
D = \{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;x^2\le y\le x\}
e escrever uma integral equivalente trocando a ordem dy\,dx para dx\,dy, além de avaliar ambas. O conteúdo envolve mudança de ordem de integração em integrais duplas e cálculo de integrais simples resultantes.
Passo 2
Para esboçar D, note que as curvas de fronteira são
y = x^2 \quad\text{e}\quad y = x
que se intersectam em x^2 = x\implies x=0,1. Assim, D é a região no plano xy entre a parábola e a reta, de (0,0) até (1,1).
Passo 3
Na ordem original temos
\int_{0}^{1}\int_{x^2}^{x}\sqrt{x}\,dy\,dx.
Como \sqrt{x} independe de y, integra-se em y primeiro: