\int_{0}^{1} \int_{0}{x{3}} e^{y / x} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{x^{3}}e^{y/x}\,dy\,dx.
Isso envolve usar integração iterada: primeiro em y (integral interna) e depois em x (integral externa), aplicando substituições quando necessário.

Passo 2

Calculemos a integral interna
\int_{0}^{x^{3}}e^{y/x}\,dy.
Fazendo a troca de variável v = \tfrac{y}{x}, temos dv = \tfrac{1}{x}\,dy ou dy = x\,dv. Quando y=0 então v=0, e quando y=x^{3} então v=x^{2}. Logo,
\int_{0}^{x^{3}}e^{y/x}\,dy = \int_{0}^{x^{2}} e^{v}\,(x\,dv) = x\int_{0}^{x^{2}}e^{v}\,dv = x\bigl(e^{x^{2}}-1\bigr).

Passo 3

Substituindo na integral externa, obtemos
\int_{0}^{1}x\bigl(e^{x^{2}}-1\bigr)\,dx = \int_{0}^{1}x\,e^{x^{2}}\,dx \;-\; \int_{0}^{1}x\,dx.

Passo 4

  1. Para \displaystyle \int_{0}^{1}x\,e^{x^{2}}\,dx, use u=x^{2}, du=2x\,dx, então
\int_{0}^{1}x\,e^{x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}e^{u}\,du = \frac{1}{2}\bigl(e-1\bigr).
  1. Para \displaystyle \int_{0}^{1}x\,dx, é trivial:
\int_{0}^{1}x\,dx = \frac{1}{2}.

Passo 5

Juntando os resultados, a integral total vale
\frac{1}{2}(e-1) \;-\; \frac{1}{2} = \frac{e-2}{2}.

Resposta

\frac{e-2}{2}

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