Esboce a região de integração e escreva uma integral equivalente com a ordem de integração invertida. Em seguida, avalie ambas as integrais.
\int_{0}^{4} \int_{-\sqrt{4-y}}^{(y-4) / 2} d x d y
Inverter a ordem de integração, escrevendo uma integral equivalente \displaystyle\iint_R1\,dA em que x varia externamente.
Avaliar numericamente ambas as integrais para conferir que dão o mesmo resultado.
Passo 2
Identificamos as curvas que limitam a região R:
– A curva x=-\sqrt{4-y} equivale a y=4-x^2 com x\le0.
– A reta x=(y-4)/2 equivale a y=2x+4.
Elas se intersectam resolvendo
Em x=-2 temos y=0; em x=0 temos y=4. Portanto a região R é o conjunto de pontos entre a reta y=2x+4 (inferior) e a parábola y=4-x^2 (superior), com projeção em y de 0 a 4.
Passo 3
Para inverter a ordem, projetamos R no eixo x. Vê-se que x varia de -2 a 0. Para cada x fixo em [-2,0], y vai da reta até a parábola, ou seja
2x+4\;\le\;y\;\le\;4 - x^2.
Logo a integral inteirada em y e depois em x é
\int_{x=-2}^{0}\int_{y=2x+4}^{4-x^2}1\,dy\,dx.
Passo 4
Avaliação na ordem original \displaystyle\int_{0}^{4}\!\int_{-\sqrt{4-y}}^{(y-4)/2}dx\,dy.
O integral interno em x dá