Esboce a região de integração e escreva uma integral equivalente com a ordem de integração invertida. Em seguida, avalie ambas as integrais.
\int_{0}^{4} \int_{-\sqrt{4-y}}^{(y-4) / 2} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para a integral dupla
\int_{y=0}^{4}\int_{x=-\sqrt{4-y}}^{(y-4)/2}1\,dx\,dy
  1. Esboçar a região de integração no plano xy.
  2. Inverter a ordem de integração, escrevendo uma integral equivalente \displaystyle\iint_R1\,dA em que x varia externamente.
  3. Avaliar numericamente ambas as integrais para conferir que dão o mesmo resultado.

Passo 2

Identificamos as curvas que limitam a região R:
– A curva x=-\sqrt{4-y} equivale a y=4-x^2 com x\le0.
– A reta x=(y-4)/2 equivale a y=2x+4.
Elas se intersectam resolvendo
4 - x^2 = 2x + 4 \;\Longrightarrow\; -x^2 -2x =0 \;\Longrightarrow\; x=0\text{ ou }x=-2.
Em x=-2 temos y=0; em x=0 temos y=4. Portanto a região R é o conjunto de pontos entre a reta y=2x+4 (inferior) e a parábola y=4-x^2 (superior), com projeção em y de 0 a 4.

Passo 3

Para inverter a ordem, projetamos R no eixo x. Vê-se que x varia de -2 a 0. Para cada x fixo em [-2,0], y vai da reta até a parábola, ou seja
2x+4\;\le\;y\;\le\;4 - x^2.
Logo a integral inteirada em y e depois em x é
\int_{x=-2}^{0}\int_{y=2x+4}^{4-x^2}1\,dy\,dx.

Passo 4

Avaliação na ordem original \displaystyle\int_{0}^{4}\!\int_{-\sqrt{4-y}}^{(y-4)/2}dx\,dy.
O integral interno em x
\int_{x=-\sqrt{4-y}}^{(y-4)/2}1\,dx = \frac{y-4}{2}-\bigl(-\sqrt{4-y}\bigr) = \frac{y-4}{2}+\sqrt{4-y}.
Assim
\int_{0}^{4}\Bigl(\frac{y-4}{2}+\sqrt{4-y}\Bigr)dy = \underbrace{\frac12\int_{0}^{4}(y-4)\,dy}_{I_1} + \underbrace{\int_{0}^{4}\sqrt{4-y}\,dy}_{I_2}.
Calculemos:
I_{1} = \frac12\bigl[\tfrac{y^2}{2}-4y\bigr]_{0}^{4} = \frac12\bigl(8-16\bigr) = -4,
I_{2} = \int_{0}^{4}\sqrt{4-y}\,dy = \int_{u=0}^{4}u^{1/2}du = \frac{2}{3}u^{3/2}\Big|_{0}^{4} = \frac{2}{3}\cdot8 = \frac{16}{3}.
Logo o valor total é
I_{1}+I_{2} = -4+\frac{16}{3} = \frac{-12+16}{3} = \frac{4}{3}.

Passo 5

Avaliação na ordem invertida \displaystyle\int_{-2}^{0}\!\int_{2x+4}^{4-x^2}dy\,dx.
O integral em y
\int_{y=2x+4}^{4-x^2}1\,dy = (4-x^2)-(2x+4) = -\,x^2-2x.
Então
\int_{-2}^{0}(-x^2-2x)\,dx = \bigl[-\tfrac{x^3}{3}-x^2\bigr]_{-2}^{0} = \bigl(0-0\bigr) - \Bigl(-\tfrac{(-2)^3}{3}-(-2)^2\Bigr) = -\bigl(\tfrac{8}{3}-4\bigr) = \frac{4}{3}.

Resposta

A integral invertida é
\int_{x=-2}^{0}\int_{y=2x+4}^{4-x^2}dy\,dx
e ambas as integrais valem \displaystyle \frac{4}{3}.

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