Esboce a região de integração e faça a mudança da ordem de integração.
Passo 1
O enunciado dá a integral dupla
e pede duas coisas: esboçar a região de integração
e fazer a mudança da ordem de integração. Vamos precisar interpretar geometricamente esses limites e depois inverter as desigualdades para escrever
.
e fazer a mudança da ordem de integração. Vamos precisar interpretar geometricamente esses limites e depois inverter as desigualdades para escrever
Passo 2
Para esboçar
, note que as fronteiras são as curvas
(parábola) e
(reta) no intervalo
. Essas curvas se encontram em
(no ponto
) e em
(no ponto
). A região é o “fundo” entre a parábola e a reta, no primeiro quadrante, para
.
Passo 3
Para trocar a ordem de integração, projetamos
no eixo
. Observamos que em
o menor
ocorre em
e o maior em
, logo
Em seguida, para um
fixo em
,
deve satisfazer simultaneamente
Como para
vale
, concluímos que
Passo 4
Portanto a integral com a ordem trocada fica