Esboce a região de integração e faça a mudança da ordem de integração.
integral0^1 integralx^2^x f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado dá a integral dupla
integral0^1integralx^2^xf(x,y),dy,dx
e pede duas coisas: esboçar a região de integração
,R=(x,y)mid 0<= x<=1,;x^2<= y<= x
e fazer a mudança da ordem de integração. Vamos precisar interpretar geometricamente esses limites e depois inverter as desigualdades para escrever
integral!!integralRf(x,y),dx,dy.

Passo 2

Para esboçar R, note que as fronteiras são as curvas
,y=x^2 (parábola) e ,y=x (reta) no intervalo
,0<= x<=1. Essas curvas se encontram em x=0 (no ponto (0,0)) e em x=1 (no ponto (1,1)). A região é o “fundo” entre a parábola e a reta, no primeiro quadrante, para 0<= x<=1.

Passo 3

Para trocar a ordem de integração, projetamos R no eixo y. Observamos que em R o menor y ocorre em (0,0) e o maior em (1,1), logo
0<= y<=1
Em seguida, para um y fixo em [0,1], x deve satisfazer simultaneamente
x^2<= y Longrightarrow x<=raizy,
y<= x Longrightarrow x>= y
Como para yin[0,1] vale raizy>= y, concluímos que
y<= x<=raizy

Passo 4

Portanto a integral com a ordem trocada fica
integral0^1integraly^raizyf(x,y),dx,dy

Resposta

integral0^1integralx^2^xf(x,y),dy,dx =integral0^1integraly^raizyf(x,y),dx,dy

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