Questão 5. Avalie as integrais:
integral sin (3 x) sin (x) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida de sin(3x)sin(x). Para resolver isso de um jeito tranquilo, vamos usar a identidade produto-para-soma de funções trigonométricas.

Passo 2

Aplicamos a identidade
sin(A),sin(B)=12l[cos(A-B)-cos(A+B)r]
com A=3x e B=x, obtendo
sin(3x)sin(x)=12l[cos(2x)-cos(4x)r]

Passo 3

Substituindo na integral, temos
integral sin(3x)sin(x),dx =12integral cos(2x),dx -12integral cos(4x),dx

Passo 4

Agora calculamos cada antiderivada:
integral cos(2x),dx=12sin(2x)
e
integral cos(4x),dx=14sin(4x).

Passo 5

Juntando tudo e incluindo a constante C,
integral sin(3x)sin(x),dx =12cdot12sin(2x) -12cdot14sin(4x)+C =sin(2x)4-sin(4x)8+C

Resposta

integral sin(3x)sin(x),dx=sin(2x)4-sin(4x)8+C.

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