Faça um esboço do gráfico e indique se o limite existe para as seguintes funções (justifique sua resposta):
f(x)=l3 x+2, se x>1 2-2 x, se -1 <= x <= 1 x+5, se x<-1
lim x -2 f(x) ; lim x -1 f(x) ; lim x 0 f(x) ; lim x 1 f(x) ; lim x 2 f(x)

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= x+5, & x< -1, 2-2x, & -1 <= x <= 1, 3x+2, & x>1,
e pede os limites limxto -2f(x), limxto -1f(x), limxto0f(x), limxto1f(x) e limxto2f(x). O conteúdo é análise de limites em pontos, usando limites laterais e continuidade de retas.

Passo 2

Esboçando o gráfico temos três segmentos lineares:
– Para x< -1, a reta y=x+5 (inclinação 1, intercepto 5).
– Para -1<= x<=1, a reta y=2-2x (inclinação -2, intercepto 2).
– Para x>1, a reta y=3x+2 (inclinação 3, intercepto 2).
Cada segmento é contínuo internamente; nos pontos x=-1 e x=1 podem ocorrer “salto” ou continuidade conforme coincidam os valores laterais.

Passo 3

Para limxto-2f(x) o ponto -2 está em x< -1, então perto de -2 usamos
f(x)=x+5
e assim
limxto-2f(x)=(-2)+5=3

Passo 4

Para limxto-1f(x) precisamos das duas laterais:
– Lateral pela esquerda ( x< -1): f(x)=x+5Rightarrow limxto-1^-f(x)=(-1)+5=4
– Lateral pela direita ( x> -1): f(x)=2-2xRightarrow limxto-1^+f(x)=2-2(-1)=4
Como as duas coincide, o limite existe e vale 4.

Passo 5

Para limxto0f(x) o ponto 0 está em -1<x<1, onde f(x)=2-2x é contínua, logo
limxto0f(x)=2-2cdot0=2

Passo 6

Para limxto1f(x) calculamos novamente as duas laterais:
– Lado esquerdo ( x<1): f(x)=2-2xRightarrow limxto1^-f(x)=2-2cdot1=0
– Lado direito ( x>1): f(x)=3x+2Rightarrow limxto1^+f(x)=3cdot1+2=5
Como 0neq5, o limite não existe em x=1.

Passo 7

Para limxto2f(x) o ponto 2 está em x>1, onde f(x)=3x+2 é contínua, então
limxto2f(x)=3cdot2+2=8

Resposta

limxto-2f(x)=3
limxto-1f(x)=4
limxto0f(x)=2
limxto1f(x) não existe
limxto2f(x)=8

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