Esboce a região de integração e faça a mudança da ordem de integração.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente esboçar a região de integração do integral duplo e trocar a ordem de integração. O conteúdo é integrais duplas e troca de ordem de integração. Vamos precisar entender as desigualdades que definem a região, desenhar ela e depois resolver essas desigualdades pra achar os novos limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região R definida pelos limites originais:
e
. Isso é uma ‘fita’ inclinada no plano XY, delimitada pelas retas
,
e as retas horizontais
e
.
Passo 3
Agora, pra trocar a ordem de integração (integrar primeiro em
e depois em
), precisamos achar para cada
quais valores de
fazem parte da região. A gente vê que o menor
rola quando
e
, e o maior
quando
e
. Então
varia de 0 até 4.
Passo 4
Com
fixo,
precisa satisfazer duas coisas:
e
. Da primeira condição tiramos
. Juntando com
, concluímos que
varia de
até
.
Passo 5
Os valores de
e
mudam dependendo de
, então dividimos em três casos:
- Para
: e . - Para
: e . - Para
: e .
Passo 6
Portanto, a integral com a ordem trocada fica a soma de três integrais, cada uma cobrindo um desses intervalos de
.
Resposta
[\n\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} f(x,y) , dy , dx
- \int_{1}^{3} \int_{0}^{1} f(x,y) , dy , dx
- \int_{3}^{4} \int_{x-3}^{1} f(x,y) , dy , dx
]