Esboce a região de integração e faça a mudança da ordem de integração.
integral0^1 integraly^y+3 f(x, y) d x d y

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente esboçar a região de integração do integral duplo e trocar a ordem de integração. O conteúdo é integrais duplas e troca de ordem de integração. Vamos precisar entender as desigualdades que definem a região, desenhar ela e depois resolver essas desigualdades pra achar os novos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região R definida pelos limites originais: 0 <= y <= 1 e y <= x <= y+3. Isso é uma ‘fita’ inclinada no plano XY, delimitada pelas retas x=y, x=y+3 e as retas horizontais y=0 e y=1.

Passo 3

Agora, pra trocar a ordem de integração (integrar primeiro em y e depois em x), precisamos achar para cada x quais valores de y fazem parte da região. A gente vê que o menor x rola quando y=0 e x=y=0, e o maior x quando y=1 e x=y+3=4. Então x varia de 0 até 4.

Passo 4

Com x fixo, y precisa satisfazer duas coisas: y <= x <= y+3 e 0 <= y <= 1. Da primeira condição tiramos x-3 <= y <= x. Juntando com 0 <= y <= 1, concluímos que y varia de max(0,x-3) até min(x,1).

Passo 5

Os valores de max(0,x-3) e min(x,1) mudam dependendo de x, então dividimos em três casos:
  • Para 0 <= x <= 1: max(0,x-3)=0 e min(x,1)=x.
  • Para 1 <= x <= 3: max(0,x-3)=0 e min(x,1)=1.
  • Para 3 <= x <= 4: max(0,x-3)=x-3 e min(x,1)=1.

Passo 6

Portanto, a integral com a ordem trocada fica a soma de três integrais, cada uma cobrindo um desses intervalos de x.

Resposta

[\n\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} f(x,y) , dy , dx
  • \int_{1}^{3} \int_{0}^{1} f(x,y) , dy , dx
  • \int_{3}^{4} \int_{x-3}^{1} f(x,y) , dy , dx
    ]

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