Exercício 1 (2,0). Determine F^{\prime}\left(\pi^{2} / 4\right), onde
F(x)=\int_{1 / 2}^{\sqrt{x}} \tan t^{2} \mathrm{~d} t

Passo 1

O enunciado dá a função
F(x)=\int_{1/2}^{\sqrt{x}} \tan\bigl(t^{2}\bigr)\,\mathrm{d}t
e pede para determinar F^{\prime}\!\left(\dfrac{\pi^{2}}{4}\right).
Informações relevantes:
  • O integrando é \tan\bigl(t^{2}\bigr).
  • O limite inferior é a constante 1/2.
  • O limite superior é a função \sqrt{x} (dependente de x).
  • Queremos a derivada de F avaliada em x=\dfrac{\pi^{2}}{4}.

Passo 2

Vamos lembrar a ferramenta que usamos aqui (explicação didática): se tivermos uma função definida por uma integral com limite superior dependente de x,
G(x)=\int_{a}^{g(x)} f(t)\,\mathrm{d}t,
então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a Regra da Cadeia, a derivada é
G'(x)=f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x).
Por que isso é assim? Intuitivamente: pequenas variações em x mudam o valor da integral mudando o ponto de corte g(x); a contribuição infinitesimal é a altura f(g(x)) vezes a variação do corte g'(x)\,\mathrm{d}x. Formalmente, aplica-se o FTC para a função H(u)=\int_a^{u} f(t)\,\mathrm{d}t (de modo que H'(u)=f(u)) e depois a regra da cadeia a H(g(x)).

Passo 3

Identificamos na nossa função:
f(t)=\tan\bigl(t^{2}\bigr), \qquad g(x)=\sqrt{x}.
Aplicando a fórmula do passo anterior,
F'(x)=f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x)=\tan\bigl(g(x)^{2}\bigr)\,g'(x).

Passo 4

Calculemos g(x)^{2} e g'(x). Como g(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}, temos
g(x)^{2}=\bigl(\sqrt{x}\bigr)^{2}=x
e
g'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^{1/2}=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Expliquei: para derivar x^{1/2} uso a regra potência \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^{n}=n x^{n-1}.

Passo 5

Substituindo em F'(x),
F'(x)=\tan\bigl(x\bigr)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\tan(x).
Observe que a expressão ficou simples porque \tan\bigl((\sqrt{x})^{2}\bigr)=\tan(x).

Passo 6

Agora avaliamos em x=\dfrac{\pi^{2}}{4}. Primeiro calculamos a raiz:
\sqrt{\dfrac{\pi^{2}}{4}}=\dfrac{\pi}{2}
(usar a raiz positiva). Então
F'\!\left(\dfrac{\pi^{2}}{4}\right)=\frac{1}{2\sqrt{\tfrac{\pi^{2}}{4}}}\tan\!\left(\dfrac{\pi^{2}}{4}\right) =\frac{1}{2\cdot(\pi/2)}\tan\!\left(\dfrac{\pi^{2}}{4}\right).

Passo 7

Simplificando 2\cdot(\pi/2)=\pi, obtemos a forma final:
F'\!\left(\dfrac{\pi^{2}}{4}\right)=\frac{1}{\pi}\tan\!\left(\dfrac{\pi^{2}}{4}\right).

Resposta

\dfrac{1}{\pi}\tan\!\left(\dfrac{\pi^{2}}{4}\right)

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