Exercício 1 (2,0). Determine
, onde
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar
.
Informações relevantes:
- O integrando é
. - O limite inferior é a constante
. - O limite superior é a função
(dependente de ). - Queremos a derivada de
avaliada em .
Passo 2
Vamos lembrar a ferramenta que usamos aqui (explicação didática): se tivermos uma função definida por uma integral com limite superior dependente de
,
então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a Regra da Cadeia, a derivada é
Por que isso é assim? Intuitivamente: pequenas variações em
mudam o valor da integral mudando o ponto de corte
; a contribuição infinitesimal é a altura
vezes a variação do corte
. Formalmente, aplica-se o FTC para a função
(de modo que
) e depois a regra da cadeia a
.
Passo 3
Identificamos na nossa função:
Aplicando a fórmula do passo anterior,
Passo 4
Calculemos
e
. Como
, temos
e
Expliquei: para derivar
uso a regra potência
.
Passo 5
Substituindo em
,
Observe que a expressão ficou simples porque
.
Passo 6
Agora avaliamos em
. Primeiro calculamos a raiz:
(usar a raiz positiva). Então
Passo 7
Simplificando
, obtemos a forma final: