Esboce a região de integração para a integral iterada.
integral-1^2 integral-raiz4-x^2^4-x^2 f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração da integral dupla integral-1^2integral-raiz4-x^2^4-x^2f(x,y),dy,dx. O tema é interpretar limites de integração em integrais duplas, identificando as curvas que definem as fronteiras e o intervalo de x.

Passo 2

A curva inferior é y=-raiz4-x^2, que corresponde à semicircunferência inferior de raio 2 centrada na origem obtida de x^2+y^2=4. A curva superior é y=4-x^2, que é uma parábola com vértice em (0,4) e concavidade para baixo. Além disso, x varia de -1 a 2.

Passo 3

Para determinar exatamente a região, encontramos a interseção entre as curvas resolvendo -raiz4-x^2=4-x^2. Isso leva a x=2 e y=0. Em x=-1 os limites vão de y=-raiz3 até y=3. Portanto, para cada xin[-1,2], y varia de -raiz4-x^2 (arco de círculo) até 4-x^2 (parábola).

Passo 4

Para esboçar a região no plano xy: desenhe os eixos, trace o arco de semicircunferência inferior x^2+y^2=4 para -1<= x<=2, a parábola y=4-x^2 no mesmo intervalo de x, e a reta vertical x=-1 ligando os pontos (-1,-raiz3) e (-1,3). A região de integração é o conjunto de pontos entre essas duas curvas, com fronteira vertical em x=-1 e que se fecha no ponto (2,0).

Resposta

A região é (x,y): -1<= x<=2,;-raiz4-x^2<= y<=4-x^2, ou seja, a área entre a semicircunferência inferior de raio 2 (parte de x^2+y^2=4) e a parábola y=4-x^2, com limite vertical em x=-1 e que se fecha em (2,0).

Exercícios relacionados