Esboce o sólido no primeiro octante delimitado pelos gráficos das equações e ache seu volume.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o sólido no primeiro octante que é delimitado pelas equações
,
,
e
, e depois calcular o volume desse sólido. Para isso, vamos usar conceitos de geometria no espaço tridimensional e um pouquinho de cálculo para achar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o “primeiro octante”. No espaço 3D, o primeiro octante é a parte onde todas as coordenadas
,
e
são positivas. Então, nosso sólido está nessa região.
Passo 3
Agora, vamos identificar as interseções do plano
com os eixos coordenados:
-
Quando
e :
Então, o ponto é. -
Quando
e :
Então, o ponto é. -
Quando
e :
Então, o ponto é.
Esses três pontos formam um triângulo no plano
.
Passo 4
Para desenhar o sólido, imagine esse triângulo no primeiro octante e conecte-o com as origens dos eixos
,
e
. O sólido formado é um tetraedro, que é um tipo de pirâmide com quatro faces triangulares.
Passo 5
Agora, vamos calcular o volume desse tetraedro. A fórmula do volume
de um tetraedro com vértices na origem e nos pontos
,
e
é:
No nosso caso,
,
e
.
Passo 6
Aplicando os valores na fórmula:
Isso significa que o volume do sólido é
unidades cúbicas.
Resposta
O volume do sólido no primeiro octante delimitado pelas equações dadas é
unidades cúbicas.