Esboce o sólido no primeiro octante delimitado pelos gráficos das equações e ache seu volume.
2 x+y+z=4, x=0, y=0 e z=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o sólido no primeiro octante que é delimitado pelas equações 2x + y + z = 4, x = 0, y = 0 e z = 0, e depois calcular o volume desse sólido. Para isso, vamos usar conceitos de geometria no espaço tridimensional e um pouquinho de cálculo para achar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o “primeiro octante”. No espaço 3D, o primeiro octante é a parte onde todas as coordenadas x, y e z são positivas. Então, nosso sólido está nessa região.

Passo 3

Agora, vamos identificar as interseções do plano 2x + y + z = 4 com os eixos coordenados:
  • Quando y = 0 e z = 0:
    2x = 4 Rightarrow x = 2
    Então, o ponto é (2, 0, 0).
  • Quando x = 0 e z = 0:
    y = 4
    Então, o ponto é (0, 4, 0).
  • Quando x = 0 e y = 0:
    z = 4
    Então, o ponto é (0, 0, 4).
Esses três pontos formam um triângulo no plano 2x + y + z = 4.

Passo 4

Para desenhar o sólido, imagine esse triângulo no primeiro octante e conecte-o com as origens dos eixos x, y e z. O sólido formado é um tetraedro, que é um tipo de pirâmide com quatro faces triangulares.

Passo 5

Agora, vamos calcular o volume desse tetraedro. A fórmula do volume V de um tetraedro com vértices na origem e nos pontos (a,0,0), (0,b,0) e (0,0,c) é:
V = 16 times a times b times c
No nosso caso, a = 2, b = 4 e c = 4.

Passo 6

Aplicando os valores na fórmula:
V = 16 times 2 times 4 times 4 = 16 times 32 = 326 = 163
Isso significa que o volume do sólido é 163 unidades cúbicas.

Resposta

O volume do sólido no primeiro octante delimitado pelas equações dadas é 163 unidades cúbicas.

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