Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral.
integral0^1 integralx^1 sin (y^2) d y d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla
integral0^1integralx^1 sinl(y^2r),dy,dx
O conteúdo aqui é troca de ordem de integração (Teorema de Fubini) e cálculo de integral simples por substituição.

Passo 2

A região de integração R é
R = (x,y)mid 0<= x<= 1,;x<= y<= 1
Em um sistema de eixos x- y, isso é o triângulo abaixo da reta y=x e acima de y=1 limitado a 0<= x<=1.

Passo 3

Para inverter a ordem, vemos que y varia de 0 até 1 e, para cada y, x vai de 0 até y. Logo
integral0^1integralx^1 sinl(y^2r),dy,dx = integraly=0^1integralx=0^y sinl(y^2r),dx,dy

Passo 4

Dentro dessa nova ordem, sin(y^2) é constante em x, então
integralx=0^y sinl(y^2r),dx =sinl(y^2r),l[xr]0^y =y,sinl(y^2r)
Ficamos com
integral0^1y,sinl(y^2r),dy

Passo 5

Para integral0^1y,sinl(y^2r),dy, use a substituição
t = y^2, dt = 2y,dyLongrightarrow y,dy = tfrac12,dt,
com t de 0 a 1. Então
integral0^1y,sinl(y^2r),dy =tfrac12integral0^1sin(t),dt =tfrac12l[-cos(t)r]0^1 =tfrac12l(1-cos(1)r)

Resposta

1-cos(1)2

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