Segundo os dados disponíveis, 39 % da população mundial vivia em regiões urbanas em 1980. Esse percentual tem crescido desde então, alcançando 45 % em 1995. Indique por p=p(t) a percentagem da população mundial que vive em regiões urbanas t anos após 1980 e suponha que o gráfico dessa função seja uma reta.
a) Obtenha a expressão de p como função de t.
b) Esboce o gráfico da função p(t) no intervalo [0,20].
c) Verifique que p^prime(t) é igual ao quanto a função p(t) aumenta no período de um ano.
d) Use p(t) para estimar o ano durante o qual pelo menos 50 % da população mundial estaria vivendo em regiões urbanas.

Passo 1

O enunciado nos dá a percentagem p da população mundial vivendo em áreas urbanas t anos após 1980 e informa que p(0)=39% e p(15)=45%. Como supomos que o gráfico de p(t) é uma reta, vamos usar equação de reta p(t)=mt+b, onde m é a taxa de variação anual e b é o valor inicial.

Passo 2

Calculamos a inclinação m (taxa de crescimento anual) usando
m=p(15)-p(0)15-0=45-3915=615=0,4

Passo 3

Como p(0)=b=39, a expressão de p(t) é
p(t)=0,4,t+39

Passo 4

O esboço de p(t) no intervalo 0<= t<=20 é a reta que passa pelos pontos (0,39) e (20,p(20)). Como
p(20)=0,4cdot20+39=8+39=47,
traçamos no plano cartesiano o eixo t de 0 a 20 e o eixo p de 39 a 47, unindo (0,39) a (20,47).

Passo 5

A derivada é constante e vale
p'(t)=0,4
Isso significa que a percentagem aumenta 0,4% a cada ano.

Passo 6

Para achar quando p(t) atinge 50%, resolvemos
0,4,t+39=50 Longrightarrow 0,4,t=11 Longrightarrow t=27,5
Isso corresponde a 1980+27,5approx2007,5, ou seja, por volta de meados de 2007.

Resposta

a) p(t)=0,4,t+39.
b) Reta ligando (0,39) e (20,47) no plano (t,p).
c) p'(t)=0,4% ao ano.
d) Cerca de meados de 2007.

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