Determine se a sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
un=ln (3 n+1)n

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência un definida por
un = ln(3n+1)n
O conteúdo aqui é limite de sequência. Para decidir convergência, precisamos calcular
limntoinfty ln(3n+1)n

Passo 2

Repare que, quando ntoinfty, temos ln(3n+1)toinfty e ntoinfty, ou seja, estamos na forma infty/infty. Uma técnica padrão para esse tipo de limite é estender a variável para xinR e usar o teorema de l’Hôpital no limite
limxtoinftyln(3x+1)x

Passo 3

Aplicando l’Hôpital, calculamos as derivadas do numerador e do denominador:
ddxl[ln(3x+1)r] = 33x+1, ddx[x] = 1
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limxtoinftyln(3x+1)x = limxtoinfty3/(3x+1)1 = limxtoinfty33x+1 = 0

Passo 4

Como o limite da função é 0 para xtoinfty, a sequência un também converge para 0.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyun = 0

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