Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral dupla pra calcular:
Primeiro, vamos entender o que precisa ser feito: precisamos desenhar a região de integração, inverter a ordem de integração e depois calcular a integral. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e regiões de integração.
Passo 2
Vamos começar esboçando a região de integração. Temos que $ x $ varia de 0 a $ \pi $ e, para cada $ x $, $ y $ varia de $ x $ a $ \pi $.
Imagine um gráfico com $ x $ no eixo horizontal e $ y $ no eixo vertical:
- $ x $ vai de 0 a $ \pi $.
- Para cada valor de $ x $, $ y $ começa em $ y = x $ e vai até $ y = \pi $.
Então, a região de integração é um triângulo definido pelas linhas:
- $ x = 0 $
- $ y = \pi $
- $ y = x $

Passo 3
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Originalmente, estamos integrando primeiro em $ y $ de $ x $ a $ \pi $, e depois em $ x $ de 0 a $ \pi $.
Para inverter, precisamos determinar os novos limites:
- $ y $ vai de 0 a $ \pi $.
- Para cada $ y $, $ x $ vai de 0 a $ y $ (já que $ y $ começa em $ y = x $).
Então, a integral invertida fica:
Passo 4
Vamos simplificar a nova integral. Note que dentro da integral, a expressão
não depende de $ x $, então podemos tratá-la como uma constante em relação a $ x $.
Então, a integral interna
é apenas:
Substituindo de volta, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral resultante:
A antiderivada de
é
. Avaliando de 0 a $ \pi $:
Resposta
O valor da integral é 2.