Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e Calcule a integral.
integral0^pi integralx^pi sin yy d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral dupla pra calcular:
integral0^pi integralx^pi sin yy , dy , dx
Primeiro, vamos entender o que precisa ser feito: precisamos desenhar a região de integração, inverter a ordem de integração e depois calcular a integral. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e regiões de integração.

Passo 2

Vamos começar esboçando a região de integração. Temos que $ x $ varia de 0 a $ \pi $ e, para cada $ x $, $ y $ varia de $ x $ a $ \pi $.
Imagine um gráfico com $ x $ no eixo horizontal e $ y $ no eixo vertical:
  • $ x $ vai de 0 a $ \pi $.
  • Para cada valor de $ x $, $ y $ começa em $ y = x $ e vai até $ y = \pi $.
Então, a região de integração é um triângulo definido pelas linhas:
  • $ x = 0 $
  • $ y = \pi $
  • $ y = x $
Região de Integração

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Originalmente, estamos integrando primeiro em $ y $ de $ x $ a $ \pi $, e depois em $ x $ de 0 a $ \pi $.
Para inverter, precisamos determinar os novos limites:
  • $ y $ vai de 0 a $ \pi $.
  • Para cada $ y $, $ x $ vai de 0 a $ y $ (já que $ y $ começa em $ y = x $).
Então, a integral invertida fica:
y

Passo 4

Vamos simplificar a nova integral. Note que dentro da integral, a expressão sin yy não depende de $ x $, então podemos tratá-la como uma constante em relação a $ x $.
Então, a integral interna x é apenas:
x
Substituindo de volta, temos:
integral0^y dx

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral resultante:
integral0^pi sin y , dy
A antiderivada de sin y é -cos y. Avaliando de 0 a $ \pi $:
pi

Resposta

O valor da integral é 2.

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