Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A ideia aqui é trabalhar com integrais múltiplas, especificamente uma integral dupla. Nosso objetivo é esboçar a região de integração, inverter a ordem de integração e, por fim, calcular a integral dada. Para isso, precisamos entender um pouco sobre áreas de integração no plano xy e como mudar a ordem de integração facilita o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral dada é:
Aqui, $ y $ varia de $ 0 $ até $ 2 \sqrt{\ln 3} $, e para cada valor de $ y $, $ x $ varia de $ \frac{y}{2} $ até $ \sqrt{\ln 3} $.
Passo 3
Vamos esboçar essa região no gráfico. No eixo $ y $, vamos de $ 0 $ a $ 2 \sqrt{\ln 3} $. Para cada $ y $, $ x $ começa em $ \frac{y}{2} $ e vai até $ \sqrt{\ln 3} $. Isso forma um trapézio com as seguintes fronteiras:
- Linha inferior: $ y = 0 $
- Linha superior: $ y = 2 \sqrt{\ln 3} $
- Limite esquerdo: $ x = \frac{y}{2} $
- Limite direito: $ x = \sqrt{\ln 3} $
Passo 4
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Isso significa que primeiro vamos integrar em relação a $ y $ e depois em relação a $ x $. Para isso, precisamos determinar os novos limites de integração.
Observando a região, para um dado $ x $, $ y $ varia de $ 0 $ até $ 2x $ (já que $ x = \frac{y}{2} $ implica $ y = 2x $).
Então, a nova integral fica:
Passo 5
Vamos calcular a integral invertida. Primeiro, integramos $ e{x{2}} $ em relação a $ y $:
Agora, a integral fica:
Passo 6
Para resolver $ \int 2x e{x{2}} , dx $, fazemos uma substituição simples. Seja $ u = x^{2} $, então $ du = 2x , dx $. Assim, a integral se torna:
Aplicando os limites de integração:
Resposta
O valor da integral é 2.