Esboce a região de integração e inverta a ordem das integrais iteradas em: integral0^1 integraly^raizy f(x, y) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para esboçar a região onde vamos integrar e depois inverter a ordem das integrais na expressão . Estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, e para isso, vamos precisar entender bem os limites de integração e como eles definem a região que vamos integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral está escrita como , o que significa que varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de até .

Passo 3

Vamos esboçar essa região no plano . Para isso, desenhamos os limites:
  1. vai de 0 a 1.
  2. Para cada , vai de a .
Então, traçamos as curvas e .

Passo 4

Agora, vamos identificar onde essas duas curvas se encontram. Igualando y = raizy implies y^2 = y implies y(y - 1) = 0 implies y = 0 ou y = 1 :
Então, as curvas se encontram nos pontos e .

Passo 5

Com isso, a região de integração é delimitada entre e , e entre e . No esboço, isso forma uma área entre a linha e a curva (já que equivale a ).

Passo 6

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Originalmente, integramos primeiro em de a , e depois em de 0 a 1. Queremos agora integrar primeiro em e depois em .

Passo 7

Para inverter, precisamos determinar os novos limites:
  1. varia de 0 a 1 (como mínimo e máximo na região).
  2. Para cada , varia de (da curva ) até (da linha ).

Passo 8

Então, a integral com a ordem invertida fica:
integral0^1 integralx^2^x f(x, y) , dy , dx

Resposta

A ordem das integrais invertida é .

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