Esboce a região de integração e inverta a ordem das integrais iteradas em:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para esboçar a região onde vamos integrar e depois inverter a ordem das integrais na expressão
. Estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, e para isso, vamos precisar entender bem os limites de integração e como eles definem a região que vamos integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral está escrita como
, o que significa que
varia de 0 a 1, e para cada valor de
,
varia de
até
.
Passo 3
Vamos esboçar essa região no plano
. Para isso, desenhamos os limites:
-
vai de 0 a 1. - Para cada
, vai de a .
Então, traçamos as curvas
e
.
Passo 4
Agora, vamos identificar onde essas duas curvas se encontram. Igualando
:
Então, as curvas se encontram nos pontos
e
.
Passo 5
Com isso, a região de integração é delimitada entre
e
, e entre
e
. No esboço, isso forma uma área entre a linha
e a curva
(já que
equivale a
).
Passo 6
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Originalmente, integramos primeiro em
de
a
, e depois em
de 0 a 1. Queremos agora integrar primeiro em
e depois em
.
Passo 7
Para inverter, precisamos determinar os novos limites:
-
varia de 0 a 1 (como mínimo e máximo na região). - Para cada
, varia de (da curva ) até (da linha ).
Passo 8
Então, a integral com a ordem invertida fica:
Resposta
A ordem das integrais invertida é
.