Esboce a região de integração e inverta a ordem das integrais iteradas em:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para esboçarmos a região de integração e invertermos a ordem das integrais iteradas. A matéria que estamos lidando aqui é Cálculo Integral, especificamente integração dupla em coordenadas cartesianas. Para isso, vamos precisar entender como a região de integração está definida e como podemos reescrever os limites das integrais para inverter a ordem de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os limites das integrais originais para entender a região de integração. Temos a integral dupla:
Aqui,
varia de
a
e, para cada
,
varia de
a
.
Passo 3
Vamos interpretar isso geometricamente. A equação
representa a parte superior de um círculo de raio 1 centrado na origem, e
é a parte inferior desse círculo. Então, a região de integração é o interior desse círculo com raio 1.
Passo 4
Agora, queremos inverter a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Para isso, precisamos determinar os novos limites para
em termos de
. Dentro do círculo
, para um valor fixo de
,
varia de
a
.
Passo 5
Com isso, podemos reescrever a integral dupla invertendo a ordem das integrais. Ficará assim:
Resposta
A ordem das integrais invertida é: