Seja \mathbf{F}(x, y, z)=-y \mathbf{i}+x \mathbf{j}+0 \mathbf{k}. Seja S o triângulo do plano x+y+z=1 no primeiro octante, com fronteira C dada pelos segmentos que ligam (1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1), e orientação compatível com a normal apontando para cima. Use o Teorema de Stokes para calcular a circulação
\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} d S .

Passo 1

O enunciado pede a circulação de \mathbf{F}(x,y,z) = -y\,\mathbf{i} + x\,\mathbf{j} + 0\,\mathbf{k} ao longo da curva fechada C que é a fronteira do triângulo S definido pelo plano x+y+z=1 no primeiro octante. Como o normal a S deve apontar para cima (com componente z>0), vamos usar o Teorema de Stokes que diz
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS.

Passo 2

Calculamos o rotacional de \mathbf{F}:
\nabla\times\mathbf{F} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ \partial/\partial x&\partial/\partial y&\partial/\partial z\\\\ -y&x&0 \end{vmatrix} =\bigl(0,0,\tfrac{\partial}{\partial x}(x)-\tfrac{\partial}{\partial y}(-y)\bigr) =(0,0,1-(-1))=(0,0,2).

Passo 3

O vetor normal unitário orientado para cima é obtido de \nabla(x+y+z)= (1,1,1), logo
\mathbf{n} =\frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}},
e
(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n} =(0,0,2)\cdot\frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}} =\frac{2}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Para integrar sobre S basta multiplicar esse valor pela área de S. Os vértices de S são (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Dois lados do triângulo são \mathbf{AB}=(-1,1,0) e \mathbf{AC}=(-1,0,1).
O produto vetorial é
\mathbf{AB}\times\mathbf{AC} =(1,1,1),
cuja norma é \sqrt{3}, então a área de S é metade disso:
\text{Area}(S)=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Portanto, pela fórmula de Stokes,
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS =\frac{2}{\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{3}}{2} =1.

Resposta

1

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