Seja \mathbf{F}(x, y, z)=-y \mathbf{i}+x \mathbf{j}+0 \mathbf{k}. Seja S o triângulo do plano x+y+z=1 no primeiro octante, com fronteira C dada pelos segmentos que ligam (1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1), e orientação compatível com a normal apontando para cima. Use o Teorema de Stokes para calcular a circulação
\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} d S .
Passo 1
O enunciado pede a circulação de \mathbf{F}(x,y,z) = -y\,\mathbf{i} + x\,\mathbf{j} + 0\,\mathbf{k} ao longo da curva fechada C que é a fronteira do triângulo S definido pelo plano x+y+z=1 no primeiro octante. Como o normal a S deve apontar para cima (com componente z>0), vamos usar o Teorema de Stokes que diz
Para integrar sobre S basta multiplicar esse valor pela área de S. Os vértices de S são (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Dois lados do triângulo são \mathbf{AB}=(-1,1,0) e \mathbf{AC}=(-1,0,1).
O produto vetorial é
\mathbf{AB}\times\mathbf{AC} =(1,1,1),
cuja norma é \sqrt{3}, então a área de S é metade disso: