Esboce a região de integração e mude a ordem de integração:
  • integral0^1 integralarctan x^pi / 4 f(x, y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar a região de integração e mudar a ordem de integração da integral dupla integral0^1 integralarctan x^pi / 4 f(x, y) , dy , dx. Estamos trabalhando com integrais duplas, que são usadas para calcular volumes sob superfícies. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração atuais e reorganizar esses limites para trocar a ordem de dx e dy.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. O limite externo é x de 0 a 1, e para cada x, y varia de arctan x até pi/4. Para visualizar isso, imagine um gráfico onde x vai de 0 a 1 no eixo horizontal, e y vai de arctan x (que é uma curva crescente) até uma constante pi/4.

Passo 3

Agora, vamos mudar a ordem de integração. Em vez de integrar y primeiro e depois x, vamos integrar x primeiro e depois y. Para isso, precisamos identificar para cada y quais valores de x estão dentro da região de integração.

Passo 4

Observando a curva y = arctan x, podemos inverter essa relação para encontrar x em termos de y: x = tan y. Como y varia de arctan 0 = 0 até pi/4, x vai de tan y até 1.

Passo 5

Portanto, com a ordem de integração trocada, y vai de 0 a pi/4, e para cada y, x vai de tan y até 1. Assim, a nova integral fica:

Resposta

integral0^pi / 4 integraltan y^1 f(x, y) , dx , dy

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