Esboce a região de integração e mude a ordem de integração:
-
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar a região de integração e mudar a ordem de integração da integral dupla
. Estamos trabalhando com integrais duplas, que são usadas para calcular volumes sob superfícies. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração atuais e reorganizar esses limites para trocar a ordem de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. O limite externo é
de 0 a 1, e para cada
,
varia de
até
. Para visualizar isso, imagine um gráfico onde
vai de 0 a 1 no eixo horizontal, e
vai de
(que é uma curva crescente) até uma constante
.
Passo 3
Agora, vamos mudar a ordem de integração. Em vez de integrar
primeiro e depois
, vamos integrar
primeiro e depois
. Para isso, precisamos identificar para cada
quais valores de
estão dentro da região de integração.
Passo 4
Observando a curva
, podemos inverter essa relação para encontrar
em termos de
:
. Como
varia de
até
,
vai de
até 1.
Passo 5
Portanto, com a ordem de integração trocada,
vai de 0 a
, e para cada
,
vai de
até 1. Assim, a nova integral fica: