No final de dois anos, o Sr. Pedro deverá efetuar um pagamento de referente ao valor de um empréstimo contraído hoje, mais os juros devidos, correspondentes a uma taxa de referente ao valor de um empréstimo contraído hoje, mais os juros devidos, correspondentes a uma taxa de ao mês. Pergunta-se: qual o valor emprestado?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre um empréstimo que o Sr. Pedro fez e que, depois de dois anos, ele vai precisar pagar R$ 200.000,00. A taxa de juros é de 4% ao mês. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto ele pegou emprestado inicialmente, ou seja, qual foi o valor emprestado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender um pouquinho de teoria por trás dessa situação. Estamos lidando com juros compostos, que é quando os juros são calculados não só sobre o valor inicial do empréstimo, mas também sobre os juros que vão se acumulando a cada período. A fórmula para calcular o montante (o valor final a ser pago) em juros compostos é:
A = P times (1 + r)^n
Onde:
  • $ A $ é o montante final (R$ 200.000,00),
  • $ P $ é o principal ou valor emprestado que queremos descobrir,
  • $ r $ é a taxa de juros por período (no caso, 4% ao mês, que é 0,04),
  • $ n $ é o número total de períodos (dois anos = 24 meses).

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar o valor de $ P $. Para isso, vamos reorganizar a fórmula para resolver $ P $:
P
Agora, substituímos os valores conhecidos na fórmula:
P

Passo 4

Vamos calcular $ (1 + 0,04)^{24} $ primeiro:
(1 + 0,04)^24
Calculando isso, obtemos aproximadamente 2,5630.

Passo 5

Agora, substituímos esse valor de volta na fórmula para encontrar $ P $:
P

Resposta

O valor emprestado pelo Sr. Pedro foi de aproximadamente R$ 78.086,64.

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