Seja a função
As derivadas parciais
e
são contínuas em
As derivadas parciais
Passo 1
O enunciado define a função
de forma peça-por-peça: para
,
, e
. A questão pertence a derivadas parciais e análise de continuidade em um ponto; vamos precisar do cálculo de derivadas parciais (quociente) e de limites em coordenadas polares.
Passo 2
Para
, aplicamos a regra do quociente para cada derivada parcial:
Passo 3
No ponto
, usamos a definição de derivada parcial:
Passo 4
Para ver se
e
são contínuas em
, examinamos o limite de cada uma conforme
. Em coordenadas polares,
e
:
Passo 5
Esses limites não dependem de
, mas de
. Por exemplo, para
temos
e
, enquanto em
obtemos
e
. Esses valores não coincidem com
e
para todas as direções.
Passo 6
Como o limite de
e de
ao aproximar-se de
depende de
, eles não coincidem com os valores nas derivadas no ponto. Logo, nenhuma das derivadas parciais é contínua em
.
Resposta
Não. As derivadas parciais
e
não são contínuas em
, pois seus limites quando
dependem da direção de aproximação e não coincidem com
e
.