Seja a função f(x, y)= y^3x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
As derivadas parciais partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y) são contínuas em (0,0) ?

Passo 1

O enunciado define a função f(x,y) de forma peça-por-peça: para (x,y)neq(0,0), f(x,y)=y^3x^2+y^2, e f(0,0)=0. A questão pertence a derivadas parciais e análise de continuidade em um ponto; vamos precisar do cálculo de derivadas parciais (quociente) e de limites em coordenadas polares.

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0), aplicamos a regra do quociente para cada derivada parcial:
fx(x,y)=partialpartial xl(y^3x^2+y^2r)= -2x,y^3(x^2+y^2)^2,
fy(x,y)=partialpartial yl(y^3x^2+y^2r)=3y^2(x^2+y^2)-2y^4(x^2+y^2)^2=3x^2y^2+y^4(x^2+y^2)^2

Passo 3

No ponto (0,0), usamos a definição de derivada parcial:
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h=limhto00-0h=0,
fy(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k=limkto0k^3/k^2-0k=limkto0kk=1

Passo 4

Para ver se fx e fy são contínuas em (0,0), examinamos o limite de cada uma conforme (x,y)to(0,0). Em coordenadas polares, x=rcostheta e y=rsintheta:
fx(r,theta)=-2,rcostheta,(rsintheta)^3r^4=-2costheta,sin^3theta,
fy(r,theta)=3r^4cos^2thetasin^2theta+r^4sin^4thetar^4=3cos^2thetasin^2theta+sin^4theta

Passo 5

Esses limites não dependem de r, mas de theta. Por exemplo, para theta=0 temos fxto0 e fyto0, enquanto em theta=pi/4 obtemos fxto-1/2 e fyto3/4+1/4=1. Esses valores não coincidem com fx(0,0)=0 e fy(0,0)=1 para todas as direções.

Passo 6

Como o limite de fx(x,y) e de fy(x,y) ao aproximar-se de (0,0) depende de theta, eles não coincidem com os valores nas derivadas no ponto. Logo, nenhuma das derivadas parciais é contínua em (0,0).

Resposta

Não. As derivadas parciais fx e fy não são contínuas em (0,0), pois seus limites quando (x,y)to(0,0) dependem da direção de aproximação e não coincidem com fx(0,0)=0 e fy(0,0)=1.

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