Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
integral0^4 integralx/2^2 f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
integral0^4integralx/2^2f(x,y),dy,dx
e pede (a) esboçar a região de integração no plano (x,y) e (b) trocar a ordem de integração. O conteúdo é análise de regiões planas e mudança de ordem em integrais duplas.

Passo 2

Vamos descrever a região R definida por
0 <= x <= 4, x2 <= y <= 2
As fronteiras são:
  • a reta y=tfracx2 (passa por (0,0) e (4,2));
  • a reta horizontal y=2;
  • as retas verticais x=0 e x=4.
    No plano, isso forma um trapézio que na verdade é um triângulo com vértices em (0,0), (4,2) e (0,2).

Passo 3

Para inverter a ordem, projetamos R sobre o eixo y. O menor valor de y na região é y=0 (em x=0) e o maior é y=2. Para um y fixo em [0,2], as restrições em x vêm de
y >= x2Longrightarrow x <= 2y,
junto com x>=0. Logo, para cada yin[0,2], temos
0 <= x <= 2y

Passo 4

Com essas novas fronteiras, a integral na ordem ,dx,dy fica
integraly=0^2integralx=0^2yf(x,y),dx,dy

Resposta

integral0^4integralx/2^2f(x,y),dy,dx ;=; integral0^2integral0^2yf(x,y),dx,dy

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