Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral
e pede (a) esboçar a região de integração no plano
e (b) trocar a ordem de integração. O conteúdo é análise de regiões planas e mudança de ordem em integrais duplas.
Passo 2
Vamos descrever a região
definida por
As fronteiras são:
- a reta
(passa por e ); - a reta horizontal
; - as retas verticais
e .
No plano, isso forma um trapézio que na verdade é um triângulo com vértices em, e .
Passo 3
Para inverter a ordem, projetamos
sobre o eixo
. O menor valor de
na região é
(em
) e o maior é
. Para um
fixo em
, as restrições em
vêm de
junto com
. Logo, para cada
, temos
Passo 4
Com essas novas fronteiras, a integral na ordem
fica