Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
integral0^5 / 2 integral0^5-2 x f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral iterada
integral0^5/2integral0^5-2xf(x,y),dy,dx
e pede para esboçar a região de integração no plano xy e depois trocar a ordem de integração. O conteúdo aqui é interpretar as desigualdades que definem a região e reescrever os limites de integração invertendo dx e dy.

Passo 2

Para entender a região definimos as desigualdades
0<= x<= tfrac52, 0<= y<= 5-2x
A reta limite y=5-2x passa pelos pontos (0,5) e (5/2,0). Juntando com x=0 e y=0, obtemos um triângulo de vértices (0,0), (0,5) e (5/2,0).

Passo 3

Para inverter a ordem, fixamos primeiro y. Na região, y varia de 0 até o valor máximo na reta, que é 5. Para cada yin[0,5], o x vai de 0 até a reta x=(5-y)/2. Logo os novos limites são
0<= y<= 5, 0<= x<= tfrac5-y2

Resposta

integral0^5/2integral0^5-2xf(x,y),dy,dx = integral0^5integral0^(5-y)/2f(x,y),dx,dy

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