4 Questão 4 (7 pts)
Considere um sistema LIT tempo discreto. Sejam a entrada
e a resposta ao impulso
sinais com as seguintes transformadas de Fourier:
Determine
.
O que é possível afirmar sobre o sistema em relação às propriedades de causalidade, memória e BIBO estabilidade?
O que é possível afirmar sobre o sistema em relação às propriedades de causalidade, memória e BIBO estabilidade?
Passo 1
O enunciado dá as DTFTs
pede
e que avaliemos causalidade, memória e BIBO-estabilidade. Vamos primeiro inverter essas expressões para obter
e
, depois fazer a convolução.
Passo 2
Lendo potências de
como índices de delta:
– Em :
3
1
2
Logo
– Em
3
1
2
Logo
– Em
:
2
1
Logo
2
1
Logo
Passo 3
Usando a soma de convolução
e substituindo o suporte finito de
, obtemos
Passo 4
Como
só é não-zero em
, avaliamos termo a termo:
-
gera em , em , em . -
gera em , em , em . -
gera em , em , em . -
gera em , em , em .
Somando tudo, o único valor não-zero emé e em dá zero. Os valores finais são:
Passo 5
Propriedades do sistema (definidas por
):
– Causalidade: como , o sistema é não causal.
– Memória: não é proporcional a
, logo o sistema tem memória.
– BIBO-estabilidade: , logo é BIBO estável.
– Causalidade: como
– Memória:
– BIBO-estabilidade:
Resposta
O sistema é não causal, tem memória e é BIBO estável.