4 Questão 4 (7 pts)

Considere um sistema LIT tempo discreto. Sejam a entrada x[n] e a resposta ao impulso h[n] sinais com as seguintes transformadas de Fourier:
X(e^j omega)=3 e^j omega+1-e^-j omega+2 e^-3 j omega H(e^j omega)=-e^j omega+2 e^-2 j omega+e^-4 j omega
Determine y[n]=x[n] * h[n].
O que é possível afirmar sobre o sistema em relação às propriedades de causalidade, memória e BIBO estabilidade?

Passo 1

O enunciado dá as DTFTs
X(e^jomega)=3e^jomega+1-e^-jomega+2e^-3jomega,
H(e^jomega)=-e^jomega+2e^-2jomega+e^-4jomega,
pede y[n]=x[n]*h[n] e que avaliemos causalidade, memória e BIBO-estabilidade. Vamos primeiro inverter essas expressões para obter x[n] e h[n], depois fazer a convolução.

Passo 2

Lendo potências de e^-jomega como índices de delta:
– Em X(e^jomega):
3 e^jomega to x[-1]=3
1 to x[0]=1
-1,e^-jomega to x[1]=-1
2 e^-3jomega to x[3]=2
Logo
x[n]=3de<a[n+1]+de<a[n]-de<a[n-1]+2de<a[n-3]
– Em H(e^jomega):
-1,e^jomega to h[-1]=-1
2 e^-2jomega to h[2]=2
1 e^-4jomega to h[4]=1
Logo
h[n]=-,de<a[n+1]+2de<a[n-2]+de<a[n-4]

Passo 3

Usando a soma de convolução
y[n]=sumk=-infty^inftyx[k],h[n-k]
e substituindo o suporte finito de x[k], obtemos
y[n] =3,h[n-(-1)]+1cdot h[n]-1cdot h[n-1]+2,h[n-3] =3,h[n+1]+h[n]-h[n-1]+2,h[n-3]

Passo 4

Como h[m] só é não-zero em m=-1,2,4, avaliamos termo a termo:
  • 3,h[n+1] gera -3 em n=-2, +6 em n=1, +3 em n=3.
  • h[n] gera -1 em n=-1, +2 em n=2, +1 em n=4.
  • -h[n-1] gera +1 em n=0, -2 em n=3, -1 em n=5.
  • 2,h[n-3] gera -2 em n=2, +4 em n=5, +2 em n=7.
    Somando tudo, o único valor não-zero em n=2 é 2-2=0 e em n=6 dá zero. Os valores finais são:
y[-2]&=-3, y[-1]=-1, y[0]=1, y[1]=6, y[3]&=3-2=1, y[4]=1, y[5]=(-1)+4=3, y[7]=2

Passo 5

Propriedades do sistema (definidas por h[n]):
– Causalidade: como h[-1]neq0, o sistema é não causal.
– Memória: h[n] não é proporcional a de<a[n], logo o sistema tem memória.
– BIBO-estabilidade: sumn|h[n]|=|-1|+|2|+|1|=4<infty, logo é BIBO estável.

Resposta

y[n]=-3,de<a[n+2]-de<a[n+1]+de<a[n]+6,de<a[n-1]+de<a[n-3]+de<a[n-4]+3,de<a[n-5]+2,de<a[n-7]
O sistema é não causal, tem memória e é BIBO estável.

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