Esboce a região de integração, mude a ordem de integração e represente a integral correspondente.
integral0^1 integral0^x f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração da integral dupla
integral0^1integral0^xf(x,y),dy,dx,
mudar a ordem de integração e escrever a nova integral correspondente. O conteúdo envolve geometria do domínio e troca da ordem em integrais duplas.

Passo 2

Interpretando a integral dada, vemos que primeiro y varia de 0 até x e depois x varia de 0 até 1. Ou seja, o domínio é
R=(x,y)mid 0<= y<= x<= 1

Passo 3

Para esboçar R, desenhe no plano cartesiano:
  • O eixo x de 0 a 1.
  • A reta y=x de (0,0) a (1,1).
  • A reta horizontal y=0.
    A região é o triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (1,1), isto é, toda a parte abaixo de y=x entre x=0 e x=1.

Passo 4

Para inverter a ordem, projetamos R no eixo y. O menor valor de y é 0 e o maior é 1. Para cada y fixo em [0,1], x varia da linha à esquerda x=y até a reta vertical x=1. Logo,
0<= y<= 1, y<= x<= 1

Passo 5

Com essas novas cotas, a integral com a ordem trocada fica
integral0^1integraly^1f(x,y),dx,dy

Resposta

integral0^1integraly^1f(x,y),dx,dy

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