Calcule as integrais indefinidas:
\int \frac{d x}{x \sqrt{x^{2}-1}}

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral dxxraizx^2 - 1
O conteúdo envolve funções da forma raizx^2-1. Vamos usar substituição trigonométrica, aproveitando que para |x|>1 podemos escrever x = sectheta.

Passo 2

Fazendo
x = sectheta, dx = secthetatantheta,dtheta, raizx^2 - 1 = raizsec^2theta - 1 = tantheta,
temos
dxxraizx^2-1 = secthetatantheta,dthetasecthetacdottantheta = dtheta
Portanto
integral dxxraizx^2 - 1 = integral dtheta = theta + C

Passo 3

Para voltar a x, observamos que x = sectheta implica theta = arcsec(x). Assim
integral dxxraizx^2 - 1 = arcsec(x) + C

Resposta

arcsec(x) + C

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