a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado ; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções e (a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano , mostre que e formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
Passo 1
A equação diferencial é em torno de . Como é ponto ordinário, buscamos solução em série de potências em :
Passo 2
Substituímos as derivadas:
Como , temos
e também . A EDO gera para cada
Dividindo por vem
ou seja
Passo 3
Para a primeira solução , escolhemos , . Então
Logo os quatro primeiros termos de são
Passo 4
Para a segunda solução , tomamos , . Então
Assim
Passo 5
No ponto (isto é, ), temos:
O wronskiano é
logo y1,y2 são LI e formam base de soluções.
Passo 6
O termo geral vem da própria recorrência
an+2=an+1+ann+2
Não há forma fechada mais simples para an além dessa relação.
Resposta
(a) A relação de recorrência é
an+2=an+1+ann+2, n>=0
(b) As duas soluções até quarto grau em t=x-1 são y1=1+tfrac12t^2+tfrac16t^3+tfrac16t^4+dots, y2=t+tfrac12t^2+tfrac12t^3+tfrac14t^4+dots