a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x0; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y1 e y2 (a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano W[y1, y2](x0), mostre que y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
y^prime prime-x y^prime-y=0, x0=1

Passo 1

A equação diferencial é y'' - x y' - y = 0 em torno de x0=1. Como x0=1 é ponto ordinário, buscamos solução em série de potências em t=x-1:
y(x)=sumn=0^inftyan,t^n com t=x-1

Passo 2

Substituímos as derivadas:
y' = sumn=1^infty n,an,t^n-1,
y''= sumn=2^infty n(n-1),an,t^n-2 = sumn=0^infty (n+2)(n+1)an+2,t^n
Como x=1+t, temos
x,y' = sumn=0^inftyl((n+1)an+1+n,anr) t^n
e também y=sum an t^n. A EDO y''=x y'+y gera para cada n>=0
(n+2)(n+1)an+2 = (n+1)an+1 + n an + an = (n+1)(an+1+an)
Dividindo por n+1 vem
(n+2),an+2=an+1+an
ou seja
an+2=an+1+ann+2, n>=0

Passo 3

Para a primeira solução y1, escolhemos a0=1, a1=0. Então
a2=0+12=tfrac12, a3=a2+03=tfrac1/23=tfrac16, a4=a3+a24=1/6+1/24=tfrac16
Logo os quatro primeiros termos de y1 são
y1=1+tfrac12t^2+tfrac16t^3+tfrac16t^4+dots

Passo 4

Para a segunda solução y2, tomamos a0=0, a1=1. Então
a2=1+02=tfrac12, a3=a2+13=1/2+13=tfrac12, a4=a3+a24=1/2+1/24=tfrac14
Assim
y2=t+tfrac12t^2+tfrac12t^3+tfrac14t^4+dots

Passo 5

No ponto x=1 (isto é, t=0), temos:
y1(1)=a0=1, y1'(1)=a1=0; y2(1)=0, y2'(1)=1
O wronskiano é
W[y1,y2](1)=1&00&1=1neq0,
logo y1,y2 são LI e formam base de soluções.

Passo 6

O termo geral vem da própria recorrência
an+2=an+1+ann+2
Não há forma fechada mais simples para an além dessa relação.

Resposta

(a) A relação de recorrência é
an+2=an+1+ann+2, n>=0
(b) As duas soluções até quarto grau em t=x-1 são
y1=1+tfrac12t^2+tfrac16t^3+tfrac16t^4+dots, y2=t+tfrac12t^2+tfrac12t^3+tfrac14t^4+dots
© O wronskiano em x=1 é W[y1,y2](1)=1, não nulo, logo são conjunto fundamental.
(d) O termo geral dos coeficientes é dado pela recorrência acima; não há expressão fechada mais simples além dela.

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